带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题

带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题

带电粒子在磁场中的偏转问题可以很好地考察学生物理过程分析、空间想象和应用数学

知识解决物理问题的能力，因此一直受到高考命题专家的青睐，成为历年的热门考题，且常作为压轴题出现。对于带电粒子在已知边界的有界磁场中偏转的问题较为常见，其解题思路（先由几何知识作出带电粒子的运动轨迹圆心，然后求其圆心角，进而确定带电粒子在磁场中的运动时间）大家较为熟悉。而对带电粒子在“待定”边界的最小有界磁场中偏转的问题则较为少见，这类问题灵活性较强，能更有效地考查学生的发散性思维和灵活应变能力，具有很好的区分度。通常可采用几何作图方法直接进行求解；当边界较为复杂时也可借助解析法进行求解。本文首先通过剖析典型的高考真题总结出该类问题的一般解题规律，并针对性地设计创新例题进行训练，从而使学生达到举一反三，融会贯通。

例1（1994年全国高考题）如图1所示，一带电质点，质量为于

轴的速度v从

，电量为，以平行

轴上的点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上

的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）

解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，洛伦兹里提供向心力，则，

可得质点在磁场中作圆周运动的半径为定值。由题设的质点在有界磁场区域中入射

点和出射点方向垂直的条件，可判定带电粒子在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆周的1/4

圆弧，这段圆弧与粒子射入和射出磁场时的速度方向相切。过点a作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线aM、bN相距均为R的运动轨迹的圆心，图2中虚线圆弧

点即为带点粒子在磁场中

即为带点粒子在有界圆形磁场中运动的轨迹。由几

何关系知：过M、N两点的不同圆周中面积最小的是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为

例2（创新迁移）如图3所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度从A点沿等边

三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）

解析：设粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力，

可得为一定值。如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB进入、BC射出磁场的运动轨迹。

过P、Q两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ为直径的圆（如图4中实线圆所示），即所求的最小圆形磁场区域。由几何关系知

，实线圆的半径

，

则待求最小圆形磁场区域的面积=。

、电

例3（2009年海南卷第16题）如图5所示，ABCD是边长为的正方形。质量为荷量为e的电子以大小为

的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当

区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为射入匀强磁场且从A点射出磁场，可设圆

，如图6所示，电子由C点垂直于BC

弧是电子的运动轨迹，由几何关系知B点为

轨迹圆心，半径R=。电子所受的洛伦兹力提供向心力即由洛伦兹力指向圆弧的圆心，可判定磁场方向垂直于纸面向外。

，可得，

（2）如图6所示，因为从BC边上任意点垂直于BC方向射入正方形区域的电子都只能由A点射出，可知电子射入磁场的点必为每条可能轨迹的最高点。所以由C点垂直于BC射入的电子在磁场中运动轨迹

为有界磁场的上边界, B点为圆弧

的圆心。下面确定

下边界，先设磁场区域足够大，点M为BC上任意点，由于电子在磁场中的轨道半径R=为

定值，所以从点M垂直于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心为：以A为圆心，为半径的圆弧和与MN（MN

BC）平行且在MN下方相距为的直线

的交点

。故所有垂

。

直于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心构成：以A为圆心，为半径的圆弧由于从BC上的任意点M点垂直BC射入有界磁场边界的点P可看作是平移了得到的，所以圆弧

沿垂直于AB的方向向上平移

与

点沿垂直于AB向上

即为有

所得的圆弧

界磁场的下边界。故有界磁场分布的最小区域为圆弧所围的部分，其面积为

扇形

减去三角形的面积的二倍：＝。

注：磁场区域的下边界也可用解析法求解。如图6所示，设从BC上任意点M点垂直于

BC射入的电子由A点射出时的速度方向与BA的延长线夹角为（不妨设设电子的运动轨迹为为知

）。先

，在以D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标

，所以四边形AOPD为菱形，由几何关系，

，整理得点P的轨迹方程为

，连接DP，由于OP=OA=AD，且=

=

, DP=a，故

，这表明，在范围

一圆周

内，P点的轨迹为以D为圆心、为半径的四分之

，即为磁场区域的另一边界。

例4（创新迁移—逆向思维）如图5所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场。现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为m、速度为

、带电量为e的电子。若沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由D点

射出。要使放射源由A放射的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）

解析：本题解题过程与例3可逆，详细过程与例5（2）类似。注：磁场的方向垂直于纸面向里。

例5（创新迁移2—同类变换）如图7所示，直角三角形

。假设在顶点A处有一放射源可沿

度为

、带电量为e的电子。在三角形方向射入磁场时，电子恰好从行于

中

,边长

所夹范围的各个方向放射出质量为m、速的适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A沿

点射出。要使放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平

的大小和方向；（2）匀强磁场区域分布

方向向右运动，试求（1）此匀强磁场

的最小面积S。（粒子重力忽略不计）

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为方向射入磁场，经偏转恰好能从其圆心为

，

，电子从A点沿是电子的运动轨迹，

点射出。如图7所示，设圆弧

，由几何关系知三角形AB为正三角形。电子在磁场中运动的轨道半径R=，

由电子作圆周运动所受的洛伦兹力提供向心力有，可得。电子所受

的洛伦兹力指向圆弧的圆心，由左手定则判定磁场方向垂直纸面向里。

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