地震波斜入射情形下水平成层半空间自由场的时域计算(4)

第３期李山有，王学良，周正华ｔ地震波斜人射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

３７５

即

Ｈ站１一ｄ－Ｈ§：ｊ＋ｄｚＭ拈１＋ｄ。“崩。

（４）

式中ｄ，、ｄ。、ｄ。为插值系数。依据自由场位移以已

知视速度Ｋ沿ｚ轴由左侧边界节点向右传播的特

点，有ＵＰ…＋Ｉ一Ⅳ砖２和“蚶一ｕｏ＂，，，这样，式（４）就变为

Ｈ药１一ｄ１Ｈ学＋ｄ２“站１＋ｄａｕｇ＂

（５）

式中“站１和“咕２均为未知变量。

同理，内节点（２，Ｊ）在（ｐ十１）Ａｔ时刻的位移值

“岵１也可由“咕１、瞄等和酩：？内插得到，结合“崭＝

ＨＳ．，和“＆！？一酷ｊ１，有

Ｈ粘１一ｅｌ“蚪１，１１＋￡２ｕｇ，Ｊ＋岛ＵＯ一，ｊ１。

（６）

式中ｏ、勘、☆为插值系数。

３．２

自由场运动方程

下面依据有限元运动方程来建立畦ｊ１与“岵２问的另一关系式。

为便于说明，我们以ＳＨ波入射情形为例。依据内节点位移计算公式，紧邻左侧边界任一内节点（１，ｊ）在（ｐ－｝－２）Ａｔ时刻的自由场位移可写为

“学一２Ⅱｆ：１一ｎｆｒ等∑∑Ｋ¨。“搿一…ｌ¨ｒ●ｎ

２“站１一“ｆ厂毹［∑Ｋｍ。。“崭＋

∑（Ｋｌｊ，１．Ｈ搿＋ＫＩ），２ｎＨ搿）］。

（７）

式中Ｍｌ，，为集中于节点（１，ｊ）的质量；Ｋ１Ｊ．一为反映

节点（１，ｊ）与相邻节点（ｍ，ｎ）之间弹性恢复力大小

的刚度系数；∑和∑为求和符号，其中

ｍ一０，ｌ，２；

ｎ一｛ｊ－－１一，ｊ。，ｊ，＋Ｎ

“一Ｉ

一１，，

Ｎ，１’’一１：２二”Ｎ’？一１。ｃｓ，净。

¨’

在式（７）的右端中，ｕｆ。Ｈ蛄１是已知的，Ｕ…Ｐ＋１可由公式（６）直接计算出，这样，仅剩下“ｏ”，ｊ１是未知的。将内插公式（５）代人式（７），经整理得

Ａｕｐ＋２—６。

（９）

式中

Ｈ”一（“潸，“搿，…，“ｆ持）１‘；

Ａ一［ｑ。］ｍⅣ；

钆一』静ｌＫ，ｍＨ％式（８）规舢值；

【０，

其它ｎ值５

ｂ一（“，ｂ２，…，ｂＮ）７；

ｂ，一２“瞄叫ｒ筹翠［Ｋｌｊ，ｏｎ（如搿＋

ｄ３Ｈ日，。）＋∑（Ｋｌｊ，ｌｎ“｝封＋Ｋｘ”。Ｈ掰）］。（１０’

因每个方程最多包含３个未知变量（Ｊ＝ｌ，Ｎ时为２

个），故所有紧邻边界内节点的运动方程将构成一个稀疏线性方程组。解此方程组就可得到所有内节点

（１，ｊ）在（ｐ＋２）Ａｔ时刻的自由场位移，进而由插值方程（５）也求得左侧人工边界节点（０，Ｊ）在（ｐ＋１）ｆｌｔ时刻的自由场位移Ｕ…Ｐ＋１。

对于平面内波动人射情形，边界节点（ｐ＋１）△￡

时刻自由场位移的求解思路与上述相同，只是位移

分量变成了矢量。

４

精度分析与实现步骤精度分析

水平成层半空间自由场的水平传播视波速是一

个可以准确确定的参数，由此建立的内插公式也可

视为精确的解析公式。这样，本文提出的自由场运动时域计算方法的精度实际上取决于显式有限元的模拟精度，换句话说，该方法是显式有限元意义上的数值精确解。鉴于显式有限元在有效模拟频段内具有很高精度的特点已被数值试验所证日月［“，且已应实现步骤

在具体实现中，自由场的计算可作为波动散射

问题模拟程序的一部分，所用到的节点坐标及其质量、刚度可直接从总场计算中调用。具体的计算步

骤如下：

（１）给定自由场零初始条件；（２）用内节点位移节点ｐ＋１时刻的位移；（３）利用底边界节点上已知的各时刻入射位移和透射公式（３）计算底边界节点ｐ＋ｌ时刻的位移（同步实现波动能量的输人）；（４）

利用内插公式（６）计算２号列上除底边界节点外的

其它节点Ｐ＋１时刻的位移；（５）求解方程（９）并利

用内插公式（５）计算入射侧边界（０号列）上除底边

界节点外的其它节点ｐ＋１时刻的位移；（６）循环第

２至５步即可得到入射侧边界节点在任一时刻的位移，完成自由场的有限元模拟。

应用该方法进行波动散射问题研究的具体算例

可参阅有关文献“’７’。

５

结语

本文建立了入射侧边界节点自由场波动计算的

４．１

用到高拱坝结构的地震反应分析之中”，所以，与显式有限元具有同等精度的自由场时域计算方法勿需

重复进行验证计算精度的数值试验。

４．２

计算公式（２）计算１号列上除底边界节点外的其它

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