地震波斜入射情形下水平成层半空间自由场的时域计算(2)

第３期李山有，王学良．周正华：地震波斜＾射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

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节点位移计算公式相结合得到了入射侧边界节点自由场的时域计算方程。

Ｊ

ＩＩ

入射波，／ｃｂ

１ｒ彩时

，ｓ波ｕ

ｓ波

圈２

妒兰＿

图３

Ｆｉｇ．３

波速与水平视速度间的关系

ｈｏｒｉｚｏｎ—

Ｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｏｆｖｅｌｏｃｉｔｙａｎｄａｐｐａｒｅｎｔｔａｔｖｅｌｏｃｉｔｙ

匕乡＼反射｛虚

分“。］。从时间上讲，它由前两个时刻的位移场递

Ｐ—ｓｖ波的反射与折射

ａｎｄ

推第三时刻的位移场，递推是显式的；从空间上讲，

Ｆｉｇ．２

ＲｅｆｌｅｃｔｉｏｎｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｏｆＰａｎｄＳＶｗａｖｅｓ

任意点（ｐ＋１）Ａｔ时刻的位移只需用与该点直接相

连（含该节点）单元的所有节点的ｐａｔ和（声一１）Ａｔ时刻的位移推出，不再需要进行刚度、质量、阻尼阵

１

水平成层介质中散射波系特征

以水平成层介质的某一层面为例，当Ｐ波或

的总装和求解大型耦联方程组，计算效率得以提高。这里ｐ是正整数，△￡是递推的时间步距。

在弹性无阻尼情形下，显式有限元法内节点位

ＳＶ波倾斜向上入射时，会同时产生反射Ｐ波、反射ＳＶ波以及折射Ｐ波、折射ＳＶ波（图２）。由斯奈尔定律可知，Ｐ波或ＳＶ波的反射角会等于它们的入

射角，同时还有

Ｖ盟

移的计算公式为

蝣１—２“￡，一“蔚１一筹二（Ｆ屯＋∑∑Ｋ…“：。。）。

‘’‘ｌ

ｒＪｍ

”

—ｓｉｎ—ａｉ—ｉ雨一一Ｓｌｎａ２一五雨。

ＶＰｌ

Ｖｓｌ

Ｖ甩

…“７

（２）

式中，Ｈ￡，为节点（｛，Ｊ）在￡＝幽￡时刻的位移向量；

鉴于平面渡传播速度Ｖ与水平视速度Ｕ间有Ｕ＝Ｖ／ｓｉｎＯ（图３），所以，斯奈尔定律又可表述为由入射平面波及其反射和折射所形成的整个波系在水

平方向具有相同的视速度“］。推广到更一般的水平

Ｍ．，为集中于节点（ｉ，Ｊ）的质量；Ｋ…为反映节点

（ｉ，ｊ）与相邻节点（ｍ，ｎ）之间弹性恢复力大小的刚度系数｝Ｒ，为ｐＡｔ时刻作用于节点（ｚ，ｊ）的外荷载，在不考虑体积力时，此项为零。

２．２

成层介质即是倾斜入射平面波所激发的自由场波系以同一水平视波速传播。

边界节点的位移计算

由于地基是半无限体，需引入人工边界切割出有限的计算区进行有限元分析。在众多时域局部人工边界中，透射边界具有简便实用的优点ｏⅢ。透射边界直接模拟波从有限模型的内部穿过人工边界向外透射的过程，并利用人射渡垂直人工边界假定引起的误差仍然是一个向外射出波的特征进行多次透射来实现边界节点波动的“精确”模拟。

考虑人工边界上任一点ｏ，取坐标轴ｚ为边界

的外法线，且ｚ轴的原点与。相合。设ｘ轴上的位移为“（￡，２），在ｚ＝一ｊ△工（△ｚ为人工边界区内节

当Ｐ波入射时，水平视速度为ｕ一墨；当ｓ波入射时，水平视速度为Ｖｚ一播。式中ｕｗ和

ｖ。分别为人射半空间介质的Ｐ波和ｓ波传播速

度。

２

２．１

显式有限差分法的基本思想

内节点的位移计算

基于波速的有限性，廖振鹏等提出了采用集中

质量与差分近似概念的有限元解耦方法，从而使内

点间的空间步距）节点在ｔ一础￡时刻的位移记为

Ｈ？一Ｈ（必￡，－－ｊ△ｘ），则一个具有二阶精度的多次透

射公式（ＭＴＦ）的实现形式为

节点运动方程的求解转变为一种解耦的显式逐步积

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