四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题
例4．已知：如图，在Rt?ABC中，?BAC?90?，AB=AC，D为BC边中点，P为BC上一点，PF于F，PE
?AB?AC于E.求证：DF=DE.
A F E B C D P 类题5．已知：如图，矩形ABCD，E为CB延长线上一点，且AC=CE，F为AE中点，求证：BF?FD.
A
D
F
E B C
六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法 A A D D G A E E E F C C B B （1） （2） B （3）
例5．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB?
A D
M
C B
类题6．已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，EF
D E C BC，M为CD的中点.求证：AM=MB.
?AD于F.求证：S梯形ABCD?EF?AD.
【作业】
1、 已知△ABC和△DBE为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A、B、D在同一直线上，M、N、P分别是
AD、AC、DE边上的中点，试说明MP与MN的关系并证明。
2、如果上题中A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？证明结论。
3、平行四边形ABCD，对角线相交于点O，P、E、F分别是AD、OB、OC的中点，AC=2AB。 求证：PE=EF
C
N
E
P
A
M B D
C
N E B
A M
P
D
A
O E B
P D
F C
4、等腰梯形ABCD中，DC∥AB，∠AOB=60°，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点。 求证：△EFM是等边三角形。
5、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN与PQ互相垂直平分。
6、如图，在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，求证：2DE=BC-AC
7、BD、CE分别为△ABC外角平分线，AM⊥BD于M，AN⊥CE于N，探究MN与AB、BC、AC的关系。
D
E O C
M
F
A B
A
P M D Q C
B
N
D A M B
C
N
E
附加题：
（1）若将上题中BD改为∠ABC的平分线，其它条件不变，则上题结论是否成立。
（2）若BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的平分线，其它条件不变，以上结论是否成立？(画图、证明)
A
A
B C
B C
8、△ABC中，AB=AC，∠BAC=?，在AB、AC上截取AD、AE，且AD=AE，连结DE。如图1所示，则易证BD=CE，如图2所示，将△ADE逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD、CE。 （1）判断BD与CE的数量关系及BD、CE延长线所夹锐角的度数。
A A A E
D B
E C
B
D
E C
D C
（2）点G、F分别是等腰△ABC、等腰△ADE底边的中点，∠BAC=∠DAE=?，点P是线段CD的中点，试探索∠GPF与?的关系，并加以证明。
B
A
F
D
B
G
P E C
9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题： （1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H．图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．
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