小四数学整除含答案

第11讲 整除

图形推理

1.整除的性质。

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 2.2、3、5倍数的特征。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除；

能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除；

能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。 能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 3.因数与倍数。

如果一个数能被另一个数整除，那么这个数是另一个数的倍数，另一个数是这个数的因数。1只有1个因数。

两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。两个数除了1以外没有其他的公因数，那么这两个数互质（互为质数）。

4.质数和合数。

如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数（素数）。2是最小的质数。

如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。1既不是质数也不是合数。

5.奇数和偶数。

如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。

第一，整除的意义；第二，奇数、偶数、质数（素数）、合数的理解；第三，倍数和因数的认识，以及2、3、5倍数的特征；

兔妈妈和小白兔、小黑兔、小灰兔去地里拔萝卜，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是小白兔的、小黑兔、小灰兔的倍数，兔妈妈至少拔了多少根？

【解析】这是一个典型的求最小公倍数的问题，小白兔拔了2根，小黑兔拔了3根，小灰兔拔了5根，兔妈妈拔的萝卜分别是它们的倍数，求兔妈妈至少拔了多少根，就是求2、3、5的最小公倍数。此题有两种解法，一是分别列举2、3、5的倍数，找出它们的最小公倍数；二是显然2、3、5除了1以外，没有其他的公因数，因此可以直接相乘求出它们的最小公倍数。

【答案】兔妈妈至少拔了30根。

例1.在3、5、8、14、24、27、30、43、51、62、68、70中，能够被2整除的有_____________， 能够被3整除的有____________，能够被5整除的有_____________。 考点：2、3、5的倍数特征

分析：此题在于考察对整除定义的理解，只需要用2、3、5分别去除这些数，看它们的商是否有余数，如果哪个数被除后，得到的商没有余数，则这个数能被相应的数整除。

解答：能够被2整除的数：8、14、30、62、68、70；能够被3整除的数：3、24、27、30、51；能够被5整除的数：30、70。 点评：熟练掌握2、3、5的倍数特征

例2.50以内，2和3的公倍数有 ，2和5的公倍数有 ，3和5的公倍数有 ，2、3、5的公倍数有 。 考点：2、3、5的倍数特征和综合倍数的特征

分析：此题考查的是公倍数，2和3的公倍数就是既是2的倍数，又是3的倍数，2和3的最小公倍数是6，因此只要是6的倍数就是2和3的公倍数；同理可求出2和5、3和5、2和3和5的公倍数。

解答：2和3的公倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48；2和5的公倍数有10、20、30、40、50；3和5的公倍数有15、30、45；2、3、5的公倍数有：30。 点评：掌握2、3、5的倍数特征

例3.30以内的奇数有 ；

30以内的偶数有 ；

30以内的质数有；30以内的合数有 。

考点：奇数、偶数、质数、合数

分析：此题考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握情况。

解答：30以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27,、29；30以内的偶数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30；30以内的质数有2、5、7、11、13、17、19、23、29；30以为的合数有4、6、8、9、10、12，14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30。 点评：考查对奇数、偶数、质数、合数的掌握

例4.既不是质数也不是合数 ，最小的合数是 ，最小的质数是 ，最小的奇数是 ，最小的偶数是 考点：特殊数的考察

分析：此题考查对一些较为特殊的数的掌握。 解答：1,，4，2，1，0。 点评：熟练记忆特殊数

例5. 3和一个数的最小公倍数是18，这个数是 ，12和一个不大于20的数的最大公因数是4，这个数是 。 考点：最大公因数和最小公倍数

分析：此题考查最小公倍数和最大公因数。3和一个数的最小公倍数是18，那么这个数一定也是18的因数，18的因数有1、3、6、9、18,，而这些数只有18和3的最小公倍数是18；12和一个不大于20的数的最大公因数是4，求这个数是多少，由最大公因数的定义可知，这个数一定是4的倍数，20以内4的倍数有4、8、12、16、20，这些数中只有4，8，16，20与12的最大公因数是4. 解答：18，4、8、16、20。

点评：会求最大公因数和最小公倍数

A

1．10以内的合数有（ ），20以内的质数有（ ）。 考点：质数和合数的概念

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。

解答：4、6、8、9、10；2、3、5、7、11、13、17、19 点评：熟练记忆质数和合数的概念 2．把36分解质因数是（ ），把63分解质因数是（ ）。 考点：分解质因数

分析：把一个合数分解成几个质数相乘的形式 解答：36=2×2×3×3; 63=3×3×7 点评：掌握分解质因数的方法

3．（ 1 ）既不是质数也不是合数。 考点：质数和合数

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。

解答：1

点评：熟练记忆质数和合数的知识点

4．自然数中，最小的质数是（ ），最小的合数是（ ），最小的奇数是（ ），最小的偶数是（ ）。

考点：质数、合数、奇数、偶数

分析：如果一个数除了1和它本身没有其他的因数，那么这个数叫作质数。如果一个数除了1和它本身还有别的因数，那么这个数叫作合数。如果一个数能够被2整除，那么这个数叫作偶数；如果不能被2整除，那么这个数叫作奇数。 解答： 2，4，1，2 点评：熟练掌握概念 5．如果A=2×3×3，B=3×3×5，则A、B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 考点：分解质因数求最大的公因数和最小公倍数

分析：两个或多个数公有的倍数中，最小的一个叫作最小公倍数；两个或多个数公有的因数中，最大的一个叫作最大公因数。 解答：9；90

点评：最大公因数和最小公倍数的求法

6．18的所有因数分别是（ ），12的所有因数分别是（ ）。 考点：求一个数的因数

分析：18=1×18 12=1×12 18=2×9 12=2×6 18=3×6 12=3×4 解答：1、2、3、6、18；1、2、3、4、6、12 点评：掌握求一个数因数的方法

7．三个质数相乘的积是12，这三个质数分别是（ ）、（ ）、（ ）。 考点：分解质因数 分析：12=2×2×3 解答：2,2,3

点评：把一个合数分解成几个质数相乘的形式

8．如果A÷B=C，那么A与B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 考点：最大公因数和最小公倍数

分析：两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数 解答：B，A

点评：最大公因数和最小公倍数的求法

9．一个奇数如果（ ），结果一定是偶数。 考点：奇数，偶数的考察

分析：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数 解答：乘以一个偶数 点评：奇数、偶数的概念

10．一个三位数6□3能被3整除，□中最小填（ ）。 考点：3的倍数特征

分析：能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。 6+3+0=9 解答：0

点评：熟练掌握3的倍数特征

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