2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、填空

?1. 设 x?2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 .

2.设一阶差商

f?x1,x2??f?x2??f?x1?x2?x1?6?15?4?22

?1?4??32?1，

f?x2,x3??f?x3??f?x2?x3?x2

则二阶差商

f?x1,x2,x3??______11/6

TX?(2,?3,?1)3. 设, 则||X||2? 14 ，||X||?? 3 。p49

24. 4．求方程 x?x?1.25?0 的近似根，用迭代公式 x?x?1.25，取初始值

x0?1， 那么

x1?______。 1.5

?y'?f(x,y)?y(x)?y05．解初始值问题 ?0近似解的梯形公式是

hyk?1?______。yk??f?xk,yk??f?xk?1,yk?1?? 2?11?A????51??，则A的谱半径 6、

＝ 6 。

7、设

f(x)?3x2?5, xk?kh, k?0,1,2,... , ，则

f?xn,xn?1,xn?2??——————

————3 和

f?xn,xn?1,xn?2,xn?3??_______________0_____ 。

8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为_______O(h）

___。

y?10?10、为了使计算

123??x?1(x?1)2(x?1)3的乘除法运算次数尽量的少,应将

表达式改写成____________y?10?1?1?3??_____________。 ?1?2??????x?1?x?1?x?1??二、计算题 1、已知

的

满足 ，使

，试问如何利用 0，1…收敛？

构造一个收

敛的简单迭代函数

1x??(?(x)?3x)??(x)2 由 x??(x)，可得 x?3x??(x)?3x， 11’1因 ?’(x)??(?’(x)?3) ， 故?’(x)??（x）-3??1222

1故 xk?1??(xk)????(xk)?3xk? , k=0,1,.... 收敛。2

2、 试确定常数A，B，C和 a，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？

101612,B?,a??995，该数值 A?C?求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的

?x1?2x2?3x3?14??2x1?5x2?2x3?18?1??3x?x?5x?20??33、 利用矩阵的LU分解法解方程组 ?12?2? ??3???y'?8?3y,(1?x?2)?y(1)?24、写出求解下列初始值问题?的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

5. 设

1S?gt2t当增加时2的绝对误差增加，而相对误差却减少。 ?0.1St， 假定 g是准确的，而对的测量有秒的误差，证明

解：

1*212e(S)?S?S?gt?gt?0.1gt22e(S)0.1gt0.2er(S)???1212tgtgt22 ?t?,e(S)?,er(S)?.

*xxf(x)?e?4?x?46. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似

值，要使截断误差不超过10， 问使用函数表的步长h应取多少？

?6解：

f(x)?ex,f(k)(x)?ex?e4,x?[?4,4],考察点x0?h,x0,x0?h及x?x0?th,t?1.f(3)(?)3!

则R2(x)?[(x?(x0?h)](x?x0)[x?(x0?h)]t(t?1)(t?1)43e4?(t?1)h?th?(t?1)h?eh3!3!e423??h.??(?4,4).633

7. 已知单调连续函数y?f(x)的如下数据

xi－0.11 －1.23 0.00 －0.10 1.50 1.17 1.80 1.58 f(xi) 用插值法计算x约为多少时 f(x)?1.（小数点后至少保留4位）0.2008 解：作辅助函数g(x)?f(x)?1,则问题转化为x为多少时，g(x)?0.此时可作新的关于

g(xi)的函数表。

由f(x)单调连续知g(x)也单调连续，因此可对g(x)的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

x?g?1(y)??0.11?0.097345(y?2.23)?0.451565(y?2.23)(y?1.10) ?0.255894(y?2.23)(y?1.10)(y?0.17)?1 故 x?g(0)?1.321497.

8. 设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式

P3(x)， 使其满足

P3(1)?1P3'(1)?3P3(2)?1,

并写出误差估计式。

P3(0)?0，，

5372p(x)??x?7x?x3P3(x)22解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式，

R(x)?f(x)?p3(x)?k(x)x(x?1)2(x?2) 由题意可设为确定待定函数

2k(x)，作辅助函数：g(t)?f(t)?p3(t)?k(t)t(t?1)(t?2)

则g(t)在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点

t?x,0,1,2(t?1为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点??(0,3)使g(?)?0，从而得

4k(x)?1(4)f(?)4!。

1(4)f(?)x(x?1)2(x?2)4! 故误差估计式为

R(x)???(0,3)

9、利用Remez算法，计算函数 f(x)?sin?x，在区间[0，1] 上的二次最佳一致逼近多项式 p2(x)（要求 精度为0.0005）.

2y?a?bx10、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合，并

计算均方误差。

xiyi19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 87.8 解：

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