Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告

仿真平台与工具应用实践

Jacobi迭代法求解线性方程组

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实 验 报 告

一、 实验目的

熟悉Jacobi迭代法原理；

学习使用Jacobi迭代法求解线性方程组；

编程实现该方法；

二、 实验内容

应用Jacobi迭代法解如下线性方程组：

?4x1?x2?x3?7??7?4x1?8x2?x3??21，要求计算精度为10 ??2x?x?5x?15123?

三、 实验过程

（1）、算法理论

Jacobi迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想：构造一个向量系列

?X???，使其收敛至某个极限Xn*，则X*就是要求的方程组的准确解。

Jacobi迭代

将方程组：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 ? (1)

????an1x1?an2x2???annxn?bn?x1?b12x2?b13x3???b1nxn?g1?x?bx?bx???bx?g?22112332nn2在假设aii?0，改写成? (2)

???xn?bn1x1?bn2x2???bn?n?1?xn?1?gn?如果引用系数矩阵

?a11?a1n??0?b1n??x1??B???????b?A???X?， 及向量??????，

????xn???an1?ann???bn1?0???b1??g1????g??????， ??，

???gn???bn??方程组（1）和（2）分别可写为：AX?b及X?BX?g，这样就得到了jacobi迭代格式Xk?1?BXk?g0用jacobi迭代解方程组AX?b时，就可任意取初值

X0带入迭代可知式Xk?1?BXk?g，然后求limXk。但是，n比较大的时候，

k??写方程组(1)和(2)是很麻烦的，如果直接由A，b能直接得到B，g就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B，g呢？实际上，如果引进非奇异对角矩阵

?a11?0??0??aii?0? D????

??0?ann??将A分解成：A?A?D?D,要求AX?b的解，实质上就有

AX?(A?D)X?DX,而D是非奇异的，所以D?1存在，DX?AX?(D?A)X,从而有X?D?1AX?D?1b,我们在这里不妨令B?I?D?1A,g?D?1b就得到

jacobi迭代格式：Xk?1?BXk?g

（2）算法框图

开始 读入A[][],b[] x=P=(0,0,0) x=Bx’+g

调用 jacobi（） 输出 结束 （3）、算法程序 m 文件：

function x=jacobi(A,b,P,delta,n) N=length(b); %返回矩阵b的最大长度

for k=1:n

for j=1:N

x(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j); end

err=abs(norm(x'-P)); %求（x'-P）模的绝对值 P=x';

if(err

E=eye(N,N); %产生N行N列矩阵 D=diag(diag(A));

f=A*inv(D); %f是A乘D的逆矩阵 B=E-f; P

x=x'; k,err B

MATLAB代码： >> clear all

A=[4，-1，1;4，-8，1;-2，1，5]; b=[7，-21，15]'; P=[0,0,0]';

x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)

（4）、算法实现

?4x11?x12?x13?7?用jacobi迭代法求解方程组：?4x21?8x22?x23??21

??2x?x?5x?15313233?正常计算结果是2，3，4 ，下面是程序输出结果：

P =

2.0000 4.0000 3.0000 k = 17 err =

9.3859e-008 B =

0 -0.1250 -0.2000 -1.0000 0 -0.2000 0.5000 0.1250 0 x =

2.0000 4.0000 3.0000

四、 实验体会

MATLAB是非常实用的软件，能够避免大量计算，简化我们的工作，带来便捷。通过本次试验，我了解了MATLAB软件，提高了解决实际问题的能力。 五、 参考文献

《科学计算与数学建模实验报告_Jacobi迭代法求解线性方程组》

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