2016年第一次高考模拟考试（理科数学试题及祥解）(2)

23A31213A2A3，故选C． P???6A66?5?4108．第1次运算：S1?次运算：S?311111???1，k?1；第2次运算：S2???，k?2；第31?S01?21?S11?(?1)2111k?3，；是周期为3的周期数列，，{S}S?S?S?n20153?671?22??2?S021?S21?12k?2015 ；所以 a?2015 满足要求。选B

9.该几何体是三棱柱ABC?A体积1B1C1砍掉一角B?A1B1C1而成的，为VABC?A1B1C1-VB?A1B1C1?n221VABC?A1B1C1???4?3?5?20，选B 3321?210．??x?3?的展开式通项为

x??rrTr?1?Cn(x2)n?r(?x?3)r?Cn(?1)rx2n?5r ，若存在常数项，则2n?5r?0有整数解，故

2n?5r，n必为5的倍数，选C ????????????????????????????????111. BA?CA?(CA?CB)?CA?|CA|2?CB?CA?62?8?6cosC?60 ?cosC??

2又C?(00,180?) ?C?120?。选D

2212．提示：令u?x?x?1 ，则f?x??logax?x?1是y?logau与u?x?x?1复合函数，

133时有最小值， ?u?(x?)2??，当y?logau是增函数，u?[3,+?）2444??22222所以 a?1 ；x?y?2x?2y?2?0 ?(x?1)?(y?1)?0?x?y?1，

所以 c?b?1，这时“囧函数”为y?1它与函数y?loga|x|与函数

|x|?1在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为4 ，选C 13. 如图，长方体ABCD?A1BC11D1中，AC＝12，AA1?5

AA12?AC2?13，

1322外接球的表面积为4?R?4?()?169?。

2214.建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为y?4px(p?0)，

?它外接球直径2R＝AC1则点A（40，30）在抛物线上， 302?160p?p?90?45?5.625（cm）

168x?1??15. 表示的平面区域如图，y?2??2x?y?2?0?

?x?1?2?y2表示区域内点P?x,y?

6

理科数学试题 第页（共4页）

与点M（-1，0）的距离的平方，由图知：|MC|2?(1?1)2?22?8最大；

M到直线2x?y?2?0的距离的平方(|2?(?1)?0?2|22?1)2?16最小。

5由于2x?y?2?0不取等号，所以16不是最小值，答案：?16?5?5,8?

??16．令AC=AD=1，CD=x > 0 , 则 AB=3 ， BC= 3x ，

12?12?m232?12?9m2cosA???6

32?9m2?12?86147 62?1?12?3?1m?3?cosB?2?3?3m?66?36?618三、解答题：

17. 解：(1) 解法1：

设?bn?的公差为d，则

??bn?为单调递增的等差数列 ?d?0且b6?b5 ???1分

由??b3?b8?26?b5?12?b得??b5?b6?26解得?5b6?168?b5b6?168?b6?14 ???4分

?d?b6?b5?2 ???5分

bn?b5?(n?5)d?12?2(n?5)?2n?2 ?bn?2n?2 ???6分 解法2：设?b?n?的公差为d，则

?bn?为单调递增的等差数列 ?d?0 ???1分 由??b3?b8?26??2?b1?4?b5b6?168得?b1?9d?26???b1?4d??b解得?1?5d??168?d?2 ???5分

?bn?b1?(n?1)d?4?2(n?1)?2n?2?bn?2n?2 ???6分 （2）2bn?22n?2?4n?1 ???7分 由2a1ab1?22a2?23a3?????2n?n?1?2nan?2n???①

得2aa3n?1ab1?222?2a3?????2n?1?2n?1?????????② ???8分 ① -②得2na?1nn?4n?4?3?4n，n?2 ?an?3?2nn?2 ??9分

又?ab1?12?8不符合上式 ?a?8 n?1n?? ????3?2n n ? 210分 2时,S?23n?22?1?2n?1 当n??n?8?3?2?2?????2?8?3?1?2?3?2n?1?4

???11分

?S1?8符合上式 ?Sn?3?2n?1?4,n?N* ???12分 18解： (1)由题意，得(0.032?a?0.02??0.018)?10?1, ???2分

解得a?0.03 ???3分 50个样本中空气质量指数的平均值为

X?0.2?10?0.32?20?0.3?30?0.18?40?24.6 ???5分 可估计2015年这一年度空气质量指数的平均值约为24.6 ????6分

理科数学试题 第页（共4页）

7

(2）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在?0,15?内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则 。?的可能取值为0，1，2， ???????7分

012P(??0)?C2(0.2)0?(0.8)2?0.64,P(??1)?C2(0.2)?(0.8)?0.32,P(??2)?C2(0.2)2?0.04

??的分布列为：

? P 0 0.64 1 0.32 2 0.04 ???????10分 E??0?0.64?1?0.32?2?0.04?0.4.(或者E??2?0.2?0.4)。 ???????12分 19．解：(1)证明：如图19-1

?EA?平面ABCD ?EA?BD ???1分 ?AD?3,BD?4,AB?5?AD?BD ???2分

而AD?AE?点A

?BD?面ADPE ?BD?PE ??????3分 ?在?PEB中G,F分别为P,E的中点 ?PE//GF ?BD?GF 同理BD?GF 而GF?FH?点F ?BD?面GFH ???5分 ?BD?GH ???6分

(2)法1：如图19-2，设PD的中点为Q，连结BQ，EQ，CQ. 易知EQ//BC且EQ?BC所以E,Q,B,C四点共面 ? F,H分别为PB，EB，PC的中点

?FH//AD ?FH//面PEAD ???7分

同理FG//面PEAD 又?FG?FH?点F?面FGH//面PEAD?8分 二面角D?EQ?B即为平面FGH与平面EBC所成的锐二面角 ??9分 ?AD?BD,AD?PD,AD//EQ ?EQ?平面PDB ??10分 ?EQ?QD且EQ?BQ

??DQB就是平面FGH与平面EBC所成锐二面角的一个平面角 ?11分

?cos?DQB?DQ?BQ25 ???12分 ?54?16法2：如图19-3，设PD的中点为Q，连结BQ，EQ，CQ.作DM?BQ于点M 易知EQ//BC且EQ?BC所以E,Q,B,C四点共面 ???7分

?PD?平面ABCD?PD?BC

又?BC?BD且PD?BD ?BC?平面PBD???8分 ?DM?BC ?DM?平面EBC ???9分 又由(1)知BD?面GFH

?DM,DB分别为平面EBC和平面FGH的法向量 ?10分 在?BDQ中，BD?4，DQ?2，BQ?25

理科数学试题 第页（共4页）

8

在?BDQ中，DM?DQ?BD45BQ?5 ???11分

设平面FGH与平面EBC所成锐二面角的大小为?，则

cos??cos?MDB?DMBD?55 ???12分 法3：如图19-4，?EA?平面ABCD，BC//PD

?PD?AD， PD?DB ???1分,BD?4,AB?5

又?AD?3?AD?BD ???2分

建立如右图所示坐标系,则D(0,0,0),B(4,0,0),E(0,?3,2)G(2,?32,1) P(0,0,4),C(4,3,0),F(2,0,2),H(2,32,2)

DB?(4,0,0) GH?(0,3,1)FH?(0,32,0)

BC?(0,3,0),BE?(?4,?3,2) ???4分

(1) ?DB?GH?4?0?0?3?0?1?0 ???5分 ?BD?GH ???6分 (2) 设平面EBC的一个法向量为n?(x,y,1),则

由???BC?n?0得?3y?0??x?3y?2?0 ???7分

?BE?n?0??4?解得?y?0???x?1 ?n?(122,0,1) ???8分 又?DB?FH?4?0?0?32?0?0?0 ?BD?FH 而BD?GH，FH?GH?H ?BD?平面FGH，???BD?为平面FGH的一个法向量 ???10分

?cos???BD?,??????n?BD?????n??2BDn4?5?55 ???11分 4理科数学试题 第页（共4页）

9

5平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值为

5 ???12分 20．解：(1) 由直线l?y?2?0与圆 x2?y2?b21： x相切得：

d?|0?0?2| ?????2分

12?(?1)2?1?b， 由e?c3a?2 得 c?32a， ?????3分

又a2?b2?c2 ?a2?12?34a2 ?a2?4 ?????4分

椭圆C的方程为 x24?y2?1 ?????5分 (2）由题意可知，直线l2的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为

y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由???y＝kx＋m，??

x2＋4y2

－4＝0

消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， ????6分 则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，

且xx－8km4?m2－1?

1＋2＝1＋4k2，x1x2＝1＋4k2. ?????7分

故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，

所以y1x·y2＝k2x1x2＋km?x1＋x2?＋m2

＝k2， ????8分

1x2x1x2即－8k2m21＋4k＋m2＝0， 又m≠0，所以k2＝1124，即k＝±2. ????9分 由Δ>0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0

S12

x|＝m2?2－m2? ?1?(m2?1)2△OPQ＝|1－x2||m， ??????11分

（ 或S△OPQ?12|AB|?h?121?k2(x1?x2)2?4x|m|1x2?1?k2?????m2(2?m2)）

所以S△OPQ的取值范围为(0,1)． ????????12分

21 解：（1） 解法1：因为f(x)为偶函数，当x?0时，?x?0，f(x)?f(?x)?e?x ??1分

f/(x)??e?x， ??2分

设切点坐标为(x?x0,y0)，则切线斜率为k?f/(x0)??e0 切线方程为y?e?x0??e?x0(x?x0) ??3分

理科数学试题 第页（共4页）

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