高中数学复习提纲（总）(5)

的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.

3.椭圆的标准方程:

x2y2(1)2?2?1(a?b?0),焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中c=a2?b2.

abx2y2(2)2?2?1(a?b?0),焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中c=a2?b2.

ba?x?acos?4.椭圆的参数方程:?,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率).

y?bsin??x2y25.椭圆的几何性质:以标准方程2?2?1(a?b?0)为例:

ab①范围:|x|≤a,|y|≤b;

②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);

③顶点A(a,0),A′(-a,0),B(0,b),B′(0,-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;

c④离心率:e=,0

aa2⑤准线x=±;

c⑥焦半径:|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.

二.双曲线

1.双曲线的定义

(1)双曲线的第一定义:平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值等于常数2a(0<2a<

｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.

(2)双曲线的第二定义:若点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个常数e(e>1) 2.双曲线的标准方程

x2y2(1)焦点在x轴上:2?2?1(a?0,b?0),焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0),

abc?a2?b2.

y2x2(2)焦点在y轴上: 2?2?1(a?0,b?0),焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).

abc?a2?b2.

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x2y23.双曲线简单几何性质:以标准方程2?2?1(a?0,b?0)为例.

ab(1)范围:|x|≥a;即x≥a,x≤-a.

(2)对称性:对称轴为x=0,y=0;对称中心为O(0,0).

(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0)为双曲线的两个顶点;线段A1A2叫双曲线的实轴,B1B2叫双曲线的虚轴,其中B1(0,b),B2(0,b).|A1A2|=2a,|B1B2|=2b.

b(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=?x;

aa2(5)准线:x=?;

cc(6)离心率:e=,e>1.

a4.等轴双曲线:x2-y2=±a2,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2

三.抛物线

1.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线,定点不在定直线上.

2.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程的异同点：

相同点:(１)原点在抛物线上;(２)对称轴为坐标轴;p值的意义表示焦点到准线的距离;(3)p>0为常数;(4)p值等于一次项系数绝对值的一半;(5)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４,即2p/4=p/2. 不同点:

方程 y2=2px y2= -2px(p>0) x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0) 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦点位置 x轴正半轴上 x轴负半轴上 y轴正半轴上 y轴负半轴上

四.直线与圆锥曲线的位置关系

1.关于直线与圆锥曲线的交点问题:一般方法是用解方程组的方法求其交点的坐标.

2.判断直线与圆锥曲线交点个数问题:即判断方程组解的个数.

3.直线与圆锥曲线位置关系的判定:通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程,可用根的判别式?来判断，注意直线与圆锥曲线相切

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必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位置关系.

4.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公

式:|AB|=(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2].

5.关于相交弦的中点问题:涉及到弦的中点时,常结合韦达定理.

6.曲线关于直线对称问题:注意两点关于直线对称的条件:(1)两点连线与该直线垂直;(2)中点在此直线上.

17．弦长公式|AB|?1?k2|x1?x2|?1?2|y1?y2|

k|PF|?e（点P是圆锥曲线上的任意一点，F是焦点，d是P到8．焦点弦长：d相应于焦点F的准线的距离，e是离心率）

五.轨迹问题

1.常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线.(2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线. 2.求动点的轨迹的步骤:(1)建立坐标系,设动点坐标M(x,y);(2)列出动点

M(x,y)满足的条件等式;(3)化简方程;(4)验证(可以省略);(5)说明方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多”的点.

3.求动点轨迹的常用方法:直接法;定义法;代入法(相关点法);参数法.

4．相关点法（代入法）：对于两个动点P(x0,y0),Q(x,y)，点P在已知曲线上运动导致点Q运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的

?x0?f(x,y)等量关系并化为?然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q的

y?g(x,y)?0轨迹方程．

5．参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标x,y，从而动点轨迹的参数方程?x?f(t)消去参数t，便可得到动点P的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价??y?g(t)性，即有t的范围确定出x,y的范围．

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六.圆锥曲线的应用

1．相关点法（代入法）：对于两个动点P(x0,y0),Q(x,y)，点P在已知曲线上

运动导致点Q运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的

?x0?f(x,y)等量关系并化为?然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q的

y?g(x,y)?0轨迹方程．

2．参数法（交规法）：当动点P的坐标x,y之间的直接关系不易建立时，可

适当地选取中间变量t，并用t表示动点P的坐标x,y，从而动点轨迹的参数方?x?f(t)程?消去参数t，便可得到动点P的的轨迹的普通方程，但要注意方程?y?g(t)的等价性，即有t的范围确定出x,y的范围．

第十章 导数及其应用

一.导数的概念与运算 ⒈导数的概念： ⑴曲线的切线； ⑵瞬时速度；

⑶导数的概念及其几何意义．

1．设函数y?f(x)在x?x0处附近有定义，当自变量在x?x0处有增量?x时，○

则函数Y?f(x)相应地有增量?y?f(x0??x)?f(x0)，如果?x?0时，?y与

?x的比

?y?y（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我?x?xx?x0们把这个极限值叫做函数y?f(x)在x?x0处的导数，记作y/f/(x0)?limf(x0??x)?f(x0)f?x??f?x0? ?limx?x0?xx?x0，即：

?x?02函数y?f(x)的导数f'(x)，就是当?x?0时，函数的增量?y与自变量的增○量?x的比

?y的极限，即 ?x49

f'(x)?lim?yf(x??x)?f(x)． ?lim?x?0?x?x?0?x3函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))○

处的切线的斜率． ⒉常用的导数公式：

⑴C'?0(C为常数)； ⑵(xn)'?nxn?1(n?Q)； ⑶(sinx)'?cosx； ⑷(cosx)'??sinx；

11**2⑸(tanx)'?； ⑹?secx(cotx)'???csc2x； 22cosxsinx⑺(ex)'?ex； ⑻(ax)'?axlna； ⑼(lnx)'?11； ⑽(logax)'?logae． xx⒊导数的运算法则：

⑴两个函数四则运算的导数：

?u?u'v?uv'①(u?v)'?u'?v'； ②(uv)'?u'v?uv'； ③???(v?0)． 2v?v?u'x． ⑵复合函数的导数：y'x?y'u·'

二.导数的应用 1、函数的单调性

（1）如果非常数函数y=f(x)在某个区间内可导，那么若f'(x)?0?f(x)为增函数；

若f'(x)?0?f(x)为减函数.

（2）若f'(x)?0则f(x)为常数函数. 2、函数的极值 （1）极值定义

如果函数f(x)在点x0附近有定义，而且对x0附近的点，都有f(x)

y极大值=f(x0)；f(x)在点x0附近的

点，都有f(x)>f(x0)我们就说f(x0)函数的一个极小值，记作

y极小值=f(x0)；极大值与极小值统称为极值。

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