扩频(3)

把an移到等式的右边并考虑到c0=1, 则(2-2)式可变为

（3） 特征多项式

首先考虑一个矩阵A。 对反馈移位寄存器可用一个矩阵来描述它, 即A矩阵, 称为状态转移矩阵。 A矩阵为r×r阶矩阵, 其结构为

?c1??1A??0?????0c201?0c300?0?????1cr?1001??0?0?????0?cnan??cian?i??cian?ii?1i?0rr（2-3）

（2-4）

由式(2-3)可以看出, A的第一行元素正是移位寄存器的反馈逻辑。 其中cr＝1, 除了第一行和第r列以外的子矩阵为一(r-1)×(r-1)的单位矩阵。 由此可见, A矩阵与移位寄存器的结构是一一对应的。 A矩阵可以将移位寄存器的下一状态与现状态联系起来。

令移位寄存器的现状态和下一状态分别由矢量an和an+1表示, 分别为

?a(n?1)?1??an?1??? ???a(n?1)?2??an?2?

??an??an?3?an?1??a(n?1)?3? （2-5）

???????a?n?r?????????a(n?1)?r???

则有 an+1=A·an (2-6)

如图2-1所示的反馈移位寄存器, 其A矩阵为

?1?1A???0???0001010011??0?0??0??（2-7）

?a(n?1)?1??1???a??100101??an?1????0a

(n?1)?2??????n?2??a?(n?1)?3100??a?n?3 ??0?? ?a?(n?1)?4???0010??????an?4??即 a(n?1)?1?an?1?an?4? a?(n?1)?2?an?1?

a?(n?1)?3?an?2? a?(n?1)?4?an?3?

（4） 特征多项式与序列多项式的关系

设线性移位寄存器序列为 {an}=a0, a1, a2, ?, an ? 相应的序列多项式为

?G(x)?n ?anxn?0

{an}的线性递归反馈函数为

? G(x)??cian?in?1

则 ?r G(x)????cnia?n?ixn?0??i?1??

交换求和次序并进行变量代换经整理后, 并考虑C0=1, 则有

rci??1m?r?i??1?cm?i?1ix???am??imx??i?1ix???am??imx??

G(x)?r??cir?c i?1ix?1i?0ixi

由此可得

G(x)?crrr?c?cif(x)i?0ix

（2-8）

（2-9）

2-10）

（2-11）

（2-12）

（2-13）（2-14）

（

（5）m序列发生器

下面给出产生m序列的条件:

① r级移位寄存器产生的码, 周期n＝2r-1, 其特征多项式必然是不可约的， 即不能再因式分解而产生最长序列。 因此, 反馈抽头不能随便决定, 否则将会产生短码。

② 所有的次数r＞1的不可约多项式f(x)必然能除尽1＋Xn, 因为aN(x)=(1+xn)／f(x)。

③ 如果2r-1是一个素数, 则所有r次不可约多项式产生的线性移位寄存器序列, 一定是m序列, 产生这个m序列的不可约多项式称为本原多项式。

④ 除了第r阶以外, 如果还有偶数个抽头的反馈结构, 则产生的序列就不是最长线性移位寄存器序列。 （6）m序列的反馈系数

一个线性反馈移位寄存器能否产生m序列, 决定于它的电路反馈系数ci, 也就是它的递归关系式。 不同的反馈系数, 产生不同的移位寄存器序列。 表2-1列出了不同级数的最长线性移位寄存器序列的反馈系数。 r≥9时, 由于m序列的条数很多, 不可能在此一一列出, 故只列出了一部分, 反馈系数Ci是以八进制有示的。使用该表时，首先将每位八进制数写成二进制形式。最左边的1就是C0（C0恒为1），从此向右，依次用二进制数表示C1，C2，??Cn.有了C1，C2，??Cn值后，就可构成M序列发生器。例如，表中N=5，反馈系数Ci=（45）8，将它们化成二进制数为100101，即相应的反馈系数依次为C0=1，C1=0，C2=0，C3=1，C4=0，C5=1。

表2-1 部分m序列反馈系统数表 级数n 3 4 5 6 7 8 9 10

周期P 7 15 31 63 127 255 511 1023 13 23 反馈系数（八进制） 45，67，75， 103，147，155 203，211，217，235，277，313，325，345，367 435，453，537，543，545，551，703，747 1021，1055，1131，1157，1167，1175 2011，2033，2157，2443，2745，3471

11 12 13 14 15 16 17 2047 4096 8191 16383 32797 65535 131071 4005，4445，5023，5263，6211，7363 10123，11417，12515，13505，14127，15053 20033，23261，24633，30741，32535，37505 42103，51761，55753，60153，71147，67401 100003，110013，120265，133663，142305 210013，233303，307572，311405，347433 400011，411335，444257，527427，646775 表中的m序列的反馈系数只列出了一部分。 通过这些反馈系数, 还可以求出对应的镜像序列的反馈抽头和特征多项式。 所谓的镜像序列是与原序列相反的序列。 如r＝3的序列为1110100, 镜像序列为0010111。 可以通过下式, 由 原序列的特征多项式f(x)求镜像序列的特征多项式f(R)(x)， 即

1(R)r （2-15） f(x)?xf()x （7） m序列的基本性质 （1）均衡性

在m序列的一个周期内, “1”和“0”的数目基本相等。 准确地说, “1”的个数比“0”的个数多一个。 （2）游程分布

把一个序列中取值相同的那些相继元素合称一个游程。 在一个游程中, 元素的个数称为游程长度。 （3）移位相加性

一个序列{an}与其经m次迟延移位产生的另一不同序列{an+m}模2加, 得到的仍然是{an}的某次迟延移位序列{an+k}, 即

{an}+{an+m}={an+k} (2-16) （4）周期性

m序列的周期为N＝2r-1, r为反馈移位寄存器的级数。 （5）伪随机性

如果对一正态分布白噪声取样, 若取样值为正, 记为“＋”。 若取样值为负, 记为“－”,则将每次取样所得极性排成序列, 可以写成 ?++-+--+---+-+--+++--? 这是一个随机序列, 具有如下基本性质：

(1) 序列中“＋”和“－”的出现概率相等。

(2) 序列中长度为1的游程约占1／2, 长度为2的游程约占1／4, 长度为3的游程约占1/8。

(3) 由于白噪声的功率谱为常数, 自相关函数为一冲激函数δ(τ)。 2．1.8 m序列的相关性

信号的自相关函数和功率谱之间形成一傅里叶变换对, 即

?G(?)???R(?)e?j??d?????1?j??R(?)?G(?)ed?????2??（2-17）

由于m序列的自相关函数是周期性的, 则对应的频谱是离散的。 自相关函数的波形是三角波, 对应的离散谱的包络为Sa2(x)。 由此可得m序列的功率谱G(ω)为

Gc(?)G(?)?1N2?(?)?N?1N2Sa(2?Tc2)??(??k???k?0?2k?NTc)（2-18）

图（3）给出G(ω)的频谱图, Tc为伪码chip的持续时间。

?2πTcSa(2Tc2?)o2πNTc2πTc?

图（3）m序列的频谱图

由此可得:

(1) m序列的功率谱为离散谱, 谱线间隔ω1=2π/(NTc);

(2) 功率谱的包络为Sa2(Tcω/2N), 每个分量的功率与周期N成反比; (3) 直流分量与N2成反比, N越大, 直流分量越小, 载漏越小; (4) 带宽由码元宽度Tc决定, Tc越小, 即码元速率越高, 带宽越宽; (5) 第一个零点出现在2π／Tc;

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