2011文（广东卷）word版含答案(2)

（ 文科）设a?0,讨论函数 f(x)?lnx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性．

解：f?(x)?2a(1?a)x?2(1?a)x?1x1x2(x?0)当a?1时，f?(x)?，所以f?(x)?0在（0，??）成立。所以f(x)在（0，??）递增。当a?1时，令g(x)=2a(1?a)x?2(1?a)x?1当??0时，即13?a?1时，2a(1?a)?0,f?(x)?0在（0，??）成立，2所以f(x)在（0，??）递增。当??0时，即a?又因为f(x)在x=13,令g(x)=0得x=333,所以f?(x)?0在（0，）， （，??）成立，22232有意义，所以f(x)在（0，??）递增。13或a?1,令g(x)=0得1?a?3a?4a?12当??0时，即00在（0，），（，??）成立，2a(1?a)2a(1?a)f?(x)<0在（1?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1，）成立，2a(1?a)2a(1?a)22221?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1所以f(x)在（0，），（，??）单调递增，2a(1?a)2a(1?a)在（1?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1，）单调递减。2a(1?a)2a(1?a)22若a?1，则2a(1?a)?0,x1?0?x2,1?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1f?(x)>0在（0,）成立，f?(x)<0在(，??）成立，2a(1?a)2a(1?a)1?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1所以f(x)在（0,）递增，在(，??）递减。2a(1?a)2a(1?a)2222第 6 页 共 21 页

1?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1综上所述：当0

?a?1时，f(x)在（0，??）递增。221?a?3a?4a?11?a?3a?4a?1当a>1时，f(x)在（0,）递增，在(，??）递减。2a(1?a)2a(1?a)

20．（本小题满分14分）

设b>0,数列{an}满足a1?b,an?nban?1an?1?2n?2(n?2)．

（3）求数列{an}的通项公式；

n?1（4）证明：对于一切正整数n,2an?b?1．

解：

显然an?0，

(n?2),??1b?1an?,an?1?n?1nban?1?an??nan?nban?1an?1?n?1an?1?n?1ban?11n?1ban?1?n?nn?1当b?1时，??1，所以数列??是以1为首项，以1为公差的等差数列。anan?1?an??nan?1?（n?1)?n,?an?11n?1n1n?11???（??）即,??（?1）?anban?1anban?1b1b得：??11?b,所以nan?1n?11?（?）1?bban?11?b1n当b?1时，令由（1b?1）???n1?111所以数列??是以?为首项，以为公比的等比数列。?b1?bb?an1?b??nan?11?b?（1b?1n?111n）?（）??（）,1?bb1?bb1

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b?1?1,n(1?b)n(1?b)b??an??，综上所述：a??n(1?b)bnnn1n1?b，b?1?n（）?1?1?bbn(2)当b?1时，2an?b当b?1时，2an?2nbnn?1?1显然成立。nn2n(1?b)b1?b?2nb2n1?b?b?????bn?1，要证2an?bn?1n?1 ?1，只要证：n?1?1?b?b?????bb?12nbbn?1n2?1?2nb?1bn?22n1bn?1?nbn?1,设S=1?b?b?????b2n?1,则2S?(1?b?S?nbn?1n?1)?(b?b2nbbn?1nn?2)?????(bn?1n?1?1)?2b2n?1?2bn?1?????2bn?1n?1?2nbn?1,??1?nb?1?b?b?????bn?1,即2an?b?1

21．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy中，

l:x??2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线

上一点，且满足?MPO??AOP．

（4） 当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（5） 已知T(1,?1)．设H是E上动点，求|HO|?|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标； （6） 过点T(1,?1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取

值范围．

解：（1）如图1，符合?MPO??AOP的点M可以在PO的左侧和右侧。

当M在PO左侧时，显然点M是PO垂直平分线与X轴的交点，所以易得M的轨迹方程为： y=0(x<-1)

当M在PO右侧时，??MPO??AOP，所以PM//x轴，设M(x,y),则P(-2，y) 因为M在PO的垂直平分线上，所以MP?MO, 即：x?2?

综上所述：当点P在l上运动时，点M的轨迹E的方程为： y=0(x<-1) 和4x?4?y（x??1)如图：

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2x?y,得：4(x?1)?y（x??1)

222yX=-2PMAOxM

（2）当H在方程y=0(x<-1)运动时，显然HO?HT?CO?CT

当H在方程4x?4?y2（x??1)上运动时，HO?HT?HP?HT,由图知当P,H,T三点共线时，HP?HT取得最小值，即HO?HT取得最小值，显然此时HO?HT?CO?CT，设H(x,-1),

因为H在4x?4?y2上，得x=?43,所以H(?4343,-1) ,-1)

综上所得：（HO?HT）min=1-(-2)=3。H(?(3)设直线l1:y+1=k(x-1),联立4x?4?y2得：k2x2?2(k2?2k?2)x?k2?2k?3?0 当k=0时，显然只有一个交点，不成立。

2当k?0时，??16(2k?k?1)?0恒成立。所以当k?0时，直线l1与轨迹E至少有两个交点。

1??

1?（?1）21（??，?]?（0，??）由图可知，当直线l1与轨迹E有且仅有两个交点时，k?

2可见l1与y=0(x<-1) 不能有交点，当直线l1过点C时，k=

?1?0

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数z满足iz?1，其中i为虚数单位，则z?

A．?i B．i C．?1 D．1

z?1i??ii?(?i)??i1．（A）．

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2．已知集合A?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，B?{(x,y)|x,y为实数，且x?y?1}，则A?B的元素个数为

A．4 B．3 C．2 D．1

2．（C）．A?B的元素个数等价于圆x?y?1与直线x?y?1的交点个数，显然有2个交点 3．已知向量a?(1,2),b?(1,0),c?(3,4)．若?为实数，(a??b)∥c，则??

112222A．4 B．2 C．1 D．2

1(?2,)?3．（B）．a??b?1，由(a??b)∥c，得6?4(1??)?0，解得??2

f(x)?11?x?lg(1?x)4．函数的定义域是

A．(??,?1) B．(1,??) C．(?1,1)?(1,??) D．(??,??)

?1?x?0?x??1?1?x?04．（C）．?且x?1，则f(x)的定义域是(?1,1)?(1,??)

5．不等式2x?x?1?0的解集是

(?12,1)(??,?12)?(1,??)2A．

B．(1,??) C．(??,1)?(2,??) D．

2

(??,?12)?(1,??)2x?x?1?0?(?x2()1)1?0x????x12或x?1，则不等式的解集为

5．（D）．

?0≤x≤2??y≤2?x≤2yxOy6．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组?给定．若M(x,y)为D上的动点，点A

的坐标为

(2,1)?????????，则z?OM?OA的最大值为

A．3 B．4 C．32 D．42 6．（B）．过点

z?2xy?，即

y??2x?z，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2?2?2?4y??2x?z经

(2,2)时，z取得最大值，

zmax?

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