初升高数学衔接教材(8)

4. 如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与BＣ相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上；

(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

(3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，

如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式. y B D O x E C（1，-3）

A （-2，-6）

（第4题图①）

y B D O x E′ C（1+k，-3）A （-2，-6） （第4题图②）

－41－

（

（

5.求函数y?x?4x?1在a?x?a?2上的最小值。

2

（十四）分段函数

一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例1 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象． 分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）． 解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为

?80,?160?? y??240,?320???400,

x?(0,20]x?(20,40]x?940,80] x?(60,80]x?(80,100]y(分) 400 320 240 160 80 O 20 40 60 80 100 x(克)

由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．

图2.2－9

例2如图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

D （1）求函数y的解析式； C

（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围．

分析：要对点P所在的位置进行分类讨论． P

－42－

A 图2.2－

B

解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，

1y＝AP?BC＝x；

2②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，

11y＝PC?AB＝(4?x)?2＝4－x；

22③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，

y＝PC?AD＝(x?4)?2＝x－4；

1122 ④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时， 练习：

1.（1）作函数y?x?1?x?2的图象。

（2）作函数y?x?1?x?2的图象。

补：已知a?x?1?x?2恒成立，求a的范围。

2．矩形ABCD中AB?4,CD?2，有一个动点P在矩形的边上运动，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．

（1）求函数y的解析式； （2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围．

－43－

（十五） 二元二次方程组解法

方程 x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中x,2xy,y叫做这个方程的二次项,x,y叫做一次项,6叫做常数项．

我们看下面的两个方程组：

2222?x2?4y2?x?3y?1?0, ??2x?y?1?0;?x2?y2?20,? ?2 2??x?5xy?6y?0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个

二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．

下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组

?x2?4y2?4?0, ?

?x?2y?2?0.①②

分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．

解：由②,得

x＝2y＋2， ③

把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，

即 y(y＋1)＝0．

解得 y1＝0，y2＝－1．

把y1＝0代入③, 得 x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程组的解是

?x1?2, ?

y?0，?1

例2 解方程组 ??x2?0, ?y??1.?2说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．

?x?y?7,

?xy?12.① ②

解法一：由①，得

－44－

x?7?y. ③ 把③代入②，整理，得

y?7y?12?0 解这个方程，得

y1?3,y2?4． 把y1?3代入③，得x1?4； 把y2?4代入③，得x2?3． 所以原方程的解是 ?2?x1?4,

?y1?3，?x2?3, ??y2?4.解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y．

这个方程组的x,y是一元二次方程

z?7z?12?0 的两个根，解这个方程，得

z?3，或z?4． 所以原方程组的解是

2?x1?4,?x2?3, ? ?

y?3;y?4.?1?2练 习：

解下列方程组:

?y?x?5,?x?y?3,（1） ?2 （2） ?2?xy??10;?x?y?625;

?x2y22??1,?y?2x,??（3） ?5 （4）?2 42??x?y?8.?y?x?3;?

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