初升高数学衔接教材(3)

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________ 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

4．解下列不等式： （1）x?3?2x?3?3

（2）x?1?x?3??4

(二)乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

22?a2?2ab?．b （2）完全平方公式 (a?b)我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

23?ab?2b)?3a?；b（1）立方和公式 (a?b)(a 23?ab?2b)?3a?；b（2）立方差公式 (a?b)(a 222)?a?b?2c2?(ab?bc?；)a（3）三数和平方公式 (a?b?c c3323?a?3ab?3a2b?；b（4）两数和立方公式 (a?b) 3323?a?3ab?3a2b?．b（5）两数差立方公式 (a?b)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

222?解法一：原式=(x2?1)?(x?1)?x??

=(x2?1)(x4?x2?1)

=x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1)

－11－

=x6?1．

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练习：

1．填空题：

121211； a?b?(b?a)（ ）

942322 （2）(4m? )?16m?4m?( )；

2222 (3 ) (a?2b?c)?a?4b?c?( )．

（1）2．选择题：

1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 21212122（A）m （B）m （C）m （D）m

431622（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）

（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

（三）二次根式（1）

一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而

22x2?x?1，x2?2xy?y2，a2等是有理式．

21．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，

例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式a2的意义

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a2?a???a,a?0,

?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)．

解： （1）12b?23b；

（2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3例2 计算：3?(3?3)．

y??2x3y(x?0)．

3?33?(3?3) ＝ (3?3)(3?3)33?3 9?33(3?1) ＝

63?1

＝．

23?3＝)解法二： 3?(3

3?3解法一： 3?(3?3＝)3

＝

3

3(3?1)1 ＝

3?1 ＝ ＝ ＝3?1 (3?1)(3?1)3?1． 2例3 试比较下列各组数的大小：

（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11?2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?11

－13－

11?11?10(1?110)(?1110)??111?101?1又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．

10?1， 1022－6(22－6)(22+6)2??, 122+622+6 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

2 ∴＜22－6.

6?4练习：

1．将下列式子化为最简二次根式： （2）∵22－6?（1）18b2 （2）27a2b4

22．计算： 2?2

3．比较下大小：5?7和11?13

（四）二次根式（2）

例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005．

解：(3?2)2004?(3?2)2005

＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2)

? ＝??(3?2)?(3?2)? ＝12004?(3?2)

2004?(3?2)

＝3?2．

例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?－14－

1?2(0?x?1)． 2x

解：（1）原式?5?45?4

?(5)2?2?2?5?22 ?(2?5)2 ?2?5?5?2．

11 （2）原式=(x?)2?x?，

xx∵0?x?1， 1∴?1?x， x1 所以，原式＝?x．

x3?23?2例 6 已知x?，求3x2?5xy?3y2的值 ． ,y?3?23?23?23?2 解： ∵x?y???(3?2)2?(3?2)2?10，

3?23?23?23?2??1， 3?23?2 ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

xy?练习

1．填空题： （1）1?3＝__ ___；

1?32（2）若(5?x)(x?3)?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___； （3）424?654?396?2150?__ ___； （4）若x?(5)等式5x?1?x?1x?1?x?1，则??______ __． 2x?1?x?1x?1?x?1x?x?2x成立的条件是 。 x?2（6）比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．

a2?1?1?a22．若b?，求a?b的值．

a?1

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