1990-2012考研数学二历年真题（改） - 图文

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020?

?001??002??002??001?????????

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )

x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数f(x)?(e?1)(e?2)?(e?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )

(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn! (3) 设an?0(n?1,2,3?),x2xnxd2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2???2?222?n??1?n2?nn?n?? .

?111??y? . (11) 设z?f?lnx??,其中函数f?u?可微，则x?x?yy??Sn?a1?a2?a3???an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的

( )

2(12) 微分方程ydx?x?3ydy?0满足条件y?1??z2?z??x?1?1的解为y? .

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有

0k?2(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为22的点的坐标是 . 2 ( )

(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有

*(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则BA*? .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ．．．(15)(本题满分 10 分)

已知函数f?x??(I)求a的值;

(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.

k?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充?x?y分条件是

( )

(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2

1?x1?，记a?limf?x?，

x?0sinxx

?

(6) 设区域D由曲线y?sinx,x??,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?

2D

( )

(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?

?0??0??1???1? ????????c,c,c,cα??1α?1 (7) 设α1??0?,α2??1? ,3?? ,4?? ,其中1234为任意常数，则下列向量组线性相关的为

?c??c??c??c? ?3??4??1??2?

( )

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

?100? ??(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ?

?002? ??

( )

- 1 -

(16)(本题满分 10 分)

求函数f?x,y??xe

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

- 2 -

?x2?y22的极值.

(19)(本题满分10分)

已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;

(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.

0x

(20)(本题满分10分)

1?xx2?cosx?1?证明xln,(?1?x?1). 1?x2

??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.

D

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程xn+xn-1???x?1?n?1的整数?，在区间??1,1???2?内有且仅有一个实根； (II)记(I)中的实根为xn，证明limn??xn存在，并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

??1a00??1?设A??01a0???001a????，????1?0??

?a001????0??(I) 计算行列式A；

(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.

(23)(本题满分11 分)

??101?已知A??011????10a??，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2， ?0a?1??(I) 求实数a的值；

(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.

- 3 -

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则 A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2.已知f(x)在x?0处可导，且f(0)?0,则k11.曲线

y??tantdt(0?x?0x?4)的弧长s=____________

12.设函数

f(x)??2??,x?00,x?0,??0 ，则?2????xf(x)dx?

13.设平面区域D由y=x,圆x2?y2?2y及y轴所组成，则二重积分

2??xyda?________

D14.二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为________________

三解答题

15.已知函数F(x)?

1t3?t??x?133?16.设函数y=y(x)有参数方程y?1t3?t?1，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 ?33limx?0x2f(x)?2f(x3)?

x3A ?2f?(0) B ?f?(0) C f?(0) D 0 3.函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3

4.微分方程y???2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为 A

?x0ln(1?t2)dtx?F(x)?0，试求?的取值范围。 ，设limF(x)?lim?x???x?0a(e?x?e??x) B ax(e?x?e??x) Cx(ae?x?be??x) Dx2(ae?x?be??x)

5设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件

A f(0)?1,f??(0)?0 B f(0)?1,f??(0)?0 C f(0)?1,f??(0)?0 D f(0)?1,f??(0)?0 6.设I???40lnsinxdx,J??lncotxdx,K??lncosxdx则I、J、K的大小关系是

44??00A I

7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。记

?100??100?????P1??111?,P2??001?,???000???010??则A=

A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1

**T8设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax?0的一个基础解系，则Ax?0的基

?1?1础解系可为

A ?1,?3 B ?1,?2 C ?1,?2,?3 D ?2,?3,?4 二填空题

17.设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求

1?2xx)?____________ 9.lim(x?0210.微分方程

1y??y?ecosx满足条件y(0)?0的解y?____________

- 4 -

?x?z?x?y2x?1,y?1

18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记?是曲线l在点（x,y)外切线的倾角求y(x)的表达式。

19.证明：1）对任意正整数n，都有

d?dy?，dxdx20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由x?y?2y(y?（1）求容器的容积。

22121),x?y2?1(y?)连接而成。 222（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为gm/s；水的密度为

103kg/m3）

21.已知函数

f(x,y)具有二阶连续偏导数，且

f(1,y)=0,f(x,1)=0,

??f(x,y)dxdy?aD，其中

111?ln(1?)? n?1nn112）设an?1?????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。

2n

- 5 -

?D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}，计算二重积分I???xy?xy(x,y)dxdy。

D

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