数学模型实验报告

实验报告

数学11级B班 114080155 杨扬

投资的收益和风险

一、问题的提出：

市场上有n种资产si（i=1,2，…，n）可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资.这n种资产在这一时期内购买si的平均收益率为ri，风险损失率为qi，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的s中最大的一个风险来度量.

i 购买si时要付交易费(费率pi)，当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算.另外，假定同期银行存款利率是r0，既无交易费又无风险.（r0=5%）已知n=4时相关数据如下：

si S1 S2 S3 S4 ri（%） 28 21 23 25 qi（%） 2.5 1.5 5.5 2.6 pi（%） 1 2 4.5 6.5 ui（元） 103 198 52 40

试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小.

二、基本假设和符号规定：

基本假设：

1. n种资产si之间是相互独立的；

1

2. 总体风险用投资项目si中最大的一个风险来度量； 3. 投资越分散，总的风险越小；

4. ．在投资的这一时期内, ri,pi,qi，r0为定值，不受意外因素影响； 5. 由于投资数额M相当,为了便于计算，假设M=1

6．净收益和总体风险只受 ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰.

符号规定：

Si ——第i种投资项目，如股票，债券

ri,pi,qi ----分别为Si的平均收益率, 交易费率，风险损失率 ui ----Si的交易定额 r0 -------同期银行利率 xi -------投资项目Si的资金 a -----投资风险度

Q ----总体收益 ΔQ ----总体收益的增量

三、模型的建立与分析：

1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{ qixi|i=1，2,…,n}

2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui

而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小, 可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi

3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max ?(ri?pi)xi

i?0n minmax{ qixi} 约束条件 ?(1?pi)xi=M

i?0n xi≥0 i=0,1,…,n

4. 模型简化：

2

在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划.

模型 固定风险水平，优化收益

目标函数： Q=max ?(ri?pi)xi

i?1n?1 约束条件：

qixiM≤a

ii?(1?p)x?M， xi≥ 0 i=0,1,…, n

minf = -0.05 x0 -0.27 x1 -0.19 x2 -0.185 x3 -0.185 x 4 x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 ≤a

0.015x2 ≤a s.t. 0.055x3 ≤a

0.026x4≤a xi ≥0 (i = 0，1，…，4) 由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，在LINGO中编制程序就可以得到结果并进行结果的分析。

五、 结果分析：

1.风险大，收益也大.

2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致.即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资.

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最优捕鱼策略

一、 问题提出

生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，… ，4龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：

1． 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为

5.07,11.55,17.86,22.99（单位：g）；

2． 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109ⅹ105

（个），3龄鱼为其一半；

3． 卵孵化的成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）； 有如下问题需要解决：

1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；

2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,29.7,10.1,3.29（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。

二. 模型建立

假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的； b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3； c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死 亡。d、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。（且可设xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初i龄鱼的数

4

量，i = 1，2，3，4；） 模型：

max（total（k））=17.86?02/30.42kx3(t)dt?22.99?2/30kx4(t)dt

1.22?101111dx(t) 1??0.8x1(t) t∈[0，1]，x1（0）= n ×1.22?10?n

dtdx2(t)??0.8x2(t) dt t∈[0，1]，x2（0）= x1（1） dx3(t)??(0.8?0.42k)x3(t)dt t∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） dx3(t)22??0.8x3(t) s.t. dt t∈[2/3，1]，x3（3-）= x3（3+） dx4(t)??(0.8?k)x4(t) dt t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1） dx4(t)22??0.8x4(t) dt t∈[2/3，1]，x4（3-）= x4（3+） 22 n?1.109?105[0.5x3()?x4(?)]

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三. 模型求解

1. 先建立一个buyu.m的M文件： function y=buyu(x);

global a10 a20 a30 a40 total k; syms k a10;

x1=dsolve('Dx1=-0.8*x1','x1(0)=a10'); t=1;

a20=subs(x1);

x2=dsolve('Dx2=-0.8*x2','x2(0)=a20'); t=1;

a30=subs(x2);

x31=dsolve('Dx31=-(0.8+0.4*k)*x31','x31(0)=a30'); t=2/3;

a31=subs(x31);

x32=dsolve('Dx32=-0.8*x32','x32(2/3)=a31');

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