概率论与数理统计(经管类第三版)第3章 多维随机变量及其分布(19)

概率论与数理统计

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 例3.6 设二维随机变量 的联合分布函数为 x y F ( x, y ) = A B + arctan C + arctan 2 2 其中A, , 为常数 为常数， ∈ 其中 ，B,C为常数，x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)

, ∈(1)试确定 ，B,C;(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X>2) 试确定A, , ; 求 和 的边缘分布函数 的边缘分布函数； 求 试确定 解 (1)由联合分布函数性质 可知 由联合分布函数性质2可知 由联合分布函数性质

F ( +∞, ∞ ) = A B + C = 0 F ( ∞,+∞ ) = A B C + = 0 2 2 2 2 1 π π x π y π 1 F ( x, y ) = 2 + arctan + arctan C= 解得 A = 2 B = 故 π 2 2 2 2 2 2 π 1 π x 1 1 x (2) FX ( x) = F ( x,+∞) = 2 + arctan π = + arctan x ∈ ( ∞,+∞ ) π 2 2 2 π 2 1 π π π y 1 1 y y ∈ ( ∞,+∞ ) FY ( y ) = F ( +∞, y ) = 2 + + arctan = + arctan π 2 2 2 2 2 π 2

π π F (+∞,+∞) = lim F ( x, y ) = A B + C + = 1 x → +∞ 2 2 y → +∞ π π π π

(3)由 的分布函数可得 (3)由X的分布函数可得

1 1 π 1 P ( X > 2) = 1 P ( X ≤ 2) = 1 FX ( 2) = 1 + = 2 π 4 4

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