概率论与数理统计(经管类第三版)第3章 多维随机变量及其分布(15)

概率论与数理统计

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 例3.3 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 kx 2 y 0 < x < y < 1 f ( x, y ) = 其它 0y y=x 1

(1)求常数 ；(2)求

概率 求常数k; 求概率 求概率P(X+Y≤1)。 求常数 。 解 (1)1+∞ +∞ ∞ ∞

∫∫

f ( x, y )dxdy = 1

( ∫ kx 2 ydy)dx = 1 ∫0 x

1

1

x+y=1 O 1 x

1 1 ( kx 2 kx 4 )dx = 1 ∫2 2 0

1 3 1 5 1 ( kx kx ) 0 = 1 6 101 2 1 x

x ≤ y ≤ 1 D: 0 ≤ x ≤ 1

解得k=15 解得 (2)

2 P( X + Y ≤ 1) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ 15 x ydy dx x + y ≤1 0 x 15 5 = = 192 64

x ≤ y ≤ 1 x D: 1 0≤ x≤ 2

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