江西省八所重点高中2012届高三4月高考模拟联考数学(理)试题(11)

（2）求证：0 an 1 an 1 （3）若a1

12

，求证：an n(n 2,n N*)

22

证明：（1）∵x (0,1)时，∴f'(x) 1 cosx 0恒成立， ∴函数f(x)在(0,1)是增函数；…………………………3分 （2） a2 f(a1) a1 sina1 a2 a1 sina1又 0 a1 1, a2 a1, 0 x

, sinx x恒成立

2

a2 a1 sina1 0 0 a2 a1 1

下面用数学归纳法进行证明：

…………………………5分

① 当n=1时0 a1 a2 1 命题成立

② 假设当n=k时命题成立，即0 ak 1 ak 1

0 f(0) f(x) f(1) 1 sin1 1 恒成立…………………………8分

f(0) f(ak 1) f(ak) f(1),即0 ak 2 ak 1 1 sin1 1 当n k 1时命题成立

根据①②可知对于任意n N*命题均成立

2

3 证法一：先证明an 1

2

a

n

2

aa

an 1 n an sinan n,an (0,1)

22

2

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