数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)(8)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

定义 Householder矩阵是指形式为

I 2 T

的矩阵，其中 =1，通常记为H.

根据定义可以看出，Householder矩阵H具有良好的性质：

对称性（H =H）；

正交性（ =I）；

对称性（ 2=I）；

反射性：对任意的x∈ ，Hx是x关于u的垂直超平面的镜面反射.

应用中经常是，确定一个Householder矩阵H的u并不总是单位向量，把它规范化 需要计算 ，因而要求平方根，这是比较费时的. 为此，用以下定理的方法：

定理1：设u≠0，令π=2 2

则

H=I 1 T

是一个Householder矩阵.

证明：设 ′= ，那么 ′ =1，且

′′ H=I 2=I 2 Householder矩阵的一个关键是能把一个给定向量的若干个指定的分量变为零，具体地说就是下列定理：

定理2：设 ∈R ，σ=± ，且假定 ≠ σ 1，则可找到一个Householder矩阵H使

H = 1

其中 1=(1,0, ,0)

11证明：作 = + 1，求出π=2 2，则H=I π 1 1即为所求的Householder

矩阵.

因为

1 + 1 ( + 1) 2

1 = 2+2 2 1+ 2 = 2+ 1 =

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