数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)(12)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

其中 11是上三角矩阵，假定 22=[ , , ]，其中

=[ , , , = , , ] ( )( )

第k步，令 = 1，其中

= , =

1 2 22 = 1 ( ) 1 = +1 ， ，其中 = ( )2 1 ( ) = 2 ，则 = ( 1, )仍为Householder矩阵，

于是 +1= = 11

0( ) ) ( 22 12( ) .

最后得到 1 2 1 = = ，其中 为 × 阶上三角矩阵， 1

为 × 阶矩阵， = , 1 为 × 阶上梯形矩阵. 记Q= 1 2 1 ，则

= . 特别，若r=rankA=n,

则当m>n时，经n步可将矩阵A化为一个上三角阵，得到 = ，

其中R为 × 阶上三角阵；当m=n时，经n-1步可将A化为一个上三角阵，得到A=QR.

经过以上分析，可以得到矩阵的正交三角化的完整算法.

For j =1 : n

υ,β = house(A(j∶ m,j))

A j∶ m,j∶ n =( +1 βυ )A(j∶ m,j∶ n)

D j = β

If j< m

A j+1∶ m,j = υ(2∶m j+1)

end

end

function : υ,β =house(x)

n= length(x)

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