数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)(10)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

其次，注意到

= 2 =

2 2 = 其中 = u不可，而只需求出 和 即可. 然而在实际

计算时，将 规格化为第一个分量为1的向量是方便的，这是因为这样正好可以把 的后 1个分量保存在 的后 1个化为0的分量位置上，而 的第一个分量1就无需保存了.

此外，上溢和下溢也是计算中需要考虑的问题. 当下溢发生时，一些计算机系统自动置其为零，这就可能出现 为零的情形. 另外如果x的分量太大，当该分量平方时，便会出现上溢. 考虑到对任意的非零实数α有α 与 的单位化向量相同，为了避免溢出现象的出现，我们可用 ∞代替x来构造v（这样做相当于在原来的v之前乘了常数α=1 ∞）

3.2 QR分解

设 ∈ × , = ，由于2范数具有正交不变性，故对任意的正交矩阵 ∈ × 有

2= ( ) 2

这样，最小二乘问题

min 2

就等价于原最小二乘问题. 因此，就可以通过适当选取正交矩阵Q，使原问题转化为较容易求解的最小二乘问题，这就是正交化方法的基本思想.

定理3（QR分解定理）设 ∈ × （m≥n），则A有QR分解：

A=Q 0

其中 ∈ × 是正交矩阵， ∈ × 是具有非负对角元的上三角阵；而且当m=n且A非奇异时，上述的分解时唯一的.

证明见附录.

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