数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)(11)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

利用QR分解，就可以实现正交化方法. 设 ∈ × （m≥n）有线性无关的列， ∈ ，并且假定已知A的QR分解. 现将Q分块为

Q=[ 1 2]

并且令

1 1 Q = b= 22

那么

222 x b 22= Q Q 2= 1 2+ 2 2

由此即知，x是最小二乘问题的解当且仅当x是 = 1的解. 这样一来，最小二乘问题的解可以很容易从上三角方程组 = 1求得.

综合上面的分析，可得求正交化方法的基本步骤为：

（1）计算A的QR分解；

（2）计算 1= 1 ；

（3）求解上三角方程组 = 1；

由此可知，实现正交化方法的关键是如何实现矩阵A的QR分解.

3.3 算法

设 ∈ × ，把 的列向量记作 =( 1 , 2 , , ) , =1,2, , .

第一步，令 1= = 1, 2, , ，利用定理二，取 = 1= 11, 12,, 1 ，

1求出 =± ， 1= + 1， 1= 1 2， 1= 1 1 1T， 1 1=2

1，令 1= σ

于是

1 12 0 (2)

22 2= 1 1= (2) 0 2(2) (2) 2 (2) 1 (2)

假设进行了 1步，得到Householder变换 1, 2, , k 1，使

= k 1 k 2 1 = 11

( ) 12 1 ( ) +1 22( )

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