数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)(7)

数据拟合线性最小二乘法及其应用(householder变换)

n元线代数方程组称为线性最小二乘问题的正规方程组. 以 ( , =1,2 , )为元素的n元线代数方程组的系数行列式不为零时，可以唯一地解出广义多项式的参数 1, 2, ,

特别地，当 = 1时，相应的n元线性代数方程组为

1 1+ 2 2+ + = 1 + 3 2+ + +1 = 2 21 1+ +1 2+ + 2 1 =

其中

1 1 1 = 1+ 2+ + = 1 =1,2, ,2 1

=1

1 1 1 = 1 1+ 2 2+ + 1 = 1

=1

=1,2, ,

2.3 小结

最小二乘问题的解归结为求正则方程组. 由于正则方程系数矩阵的条件数是原矛盾方程组系数条件数的平方，正则方程的病态程度大大增加. 因此，有必要采用有较高数值稳定性的计算方法. 一般使用H-变换，平方根法和Gram-Schmidt正交化法. 这三种方法用于一次性处理时，H-变换所需的运算量较少，而得到最广泛的使用. 平方根法便于形成递推算法而首先被用于最小二乘估计的递推算法中，但与直接求解正则方程的递推算法相比较，运算量有所增加.

第三章快速算法及基本原理

3.1H-变换

Gauss消去法是用左乘一系列初等下三角阵来约化一个矩阵为上三角阵. 而Householder变换（注释一）是应用非常广泛的另外一种三角化方法.

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