（微积分）第二章

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limxn=a,则对任何自然数k，有limxn+k=a.

n??n??证：由limxn?a，知???0，?N1，当n?N1时，有

n??xn?a??

取N?N1?k，有???0，?N，设n?N时（此时n?k?N1）有

xn?k?a??

由数列极限的定义得 limxn?k?a.

x??2. 试利用不等式A?B?A?B说明：若limxn=a,则lim∣xn∣=|a|.考察数列

n??n??xn=(-1)n，说明上述结论反之不成立.

证：

?limxn?ax??????0,?N,使当n?N时，有xn?a??.而 xn?a?xn?a 于是???0，?N,使当n?N时，有

xn?a?xn?a?? 即 xn?a??

由数列极限的定义得 limxn?a

n??n考察数列 xn?(?1)，知limxn不存在，而xn?1，limxn?1，

n??n??所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

???(1) lim?2?=0. 22?=0； (2) limn??n??n!n(n?1)(2n)??证：（1）因为

?111?21111n?1n?n????????222222nn(n?1)(2n)nn

2n而且 lim12，?0lim?0，

n??n2n??n1

所以由夹逼定理，得

?111?lim?2?????0. 22?n??n(n?1)(2n)??（2）因为0?2nn!?21?22?23???2n?1?2n?4n，而且lim4n??n?0，

所以，由夹逼定理得

2nlimn??n!?0 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) xn=

1en?1，n=1,2,…； (2) x1=2,xn+1＝2xn,n=1,2,…. 证：（1）因为x1n?1?xn??1en?1?1en?1?0 故xn是单调递减.

又因xn?0，故x1n有下界，由由单调有界数列收敛准则知lim存在。

n??en?1 （2）因为x1?2?2，不妨设xk?2，则

xk?1?2xk?2?2?2

故有对于任意正整数n，有xn?2，即数列?xn?有上界， 又 xn?1?xn?xn(2?xn)，而xn?0,xn?2，

所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?xn， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列?xn?是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※

. 证明：limx?xf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

0证：先证充分性：即证若xlim?x?f(x)?limx?f(x)?a，则limf(x)?a. 0x?0x?x0由xlim?x?f(x)?a及lim?f(x)?a知： 0x?x0 ???0,??1?0,当0?x0?x??1时，有f(x)?a??，

??2?0当0?x?x0??2时，有f(x)?a??。

2

取??min??1,?2?，则当0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??， 而0?x0?x??或0?x?x0??就是0?x?x0??， 于是???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??， 所以 limf(x)?a.

x?x0f(x)?lim?f(x)?a, 再证必要性：即若limf(x)?a，则lim?x?x0x?x0x?x0由limf(x)?a知，???0,???0，当0?x?x0??时，有f(x)?a??，

x?x0由0?x?x0??就是 0?x0?x??或0?x?x0??，于是???0,???0，当

0?x0?x??或0?x?x0??时，有f(x)?a??. f(x)?lim?f(x)?a 所以 lim?x?x0x?x0 综上所述，limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

x?x0e； 2. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x2+a),和lim?x?0x?01x1??x(2) 设f(x)= ?e, x?0,，问常数a为何值时，limf(x)存在.

x?02??x?a,x?0,22解：（1）因为x无限接近于0时，x?a的值无限接近于a，故lim(x?a)?a.

x?01x当x从小于0的方向无限接近于0时，e的值无限接近于0，故lime?0. ?x?01xf(x)?limf(x)， （2）若limf(x)存在，则lim??x?0x?0x?022f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a， 由（1）知 lim???x?0x?0x?0 limf(x)?lime?0 ??x?0x?01x所以，当a?0时，limf(x)存在。

x?03. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在.

x???解：因为当x???时，sinx的值在-1与1之间来回振摆动，即sinx不无限接近某一定直线y?A，亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线，所以limsinx不存在。

x???

习题2-3

3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当x?0时，tanx,sinx都是无穷小量，但由

sinx?cosx（当x?0时，tanxcosx?1）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当x??时，2x与x都是无穷大量，但小量。

例3：当x?0时，tanx是无穷小量，而cotx是无穷大量，但tanx?cotx?1不是无穷大量，也不是无穷小量。 2. 判断下列命题是否正确：

(1) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (2) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (3) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (4) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(5) y=xsinx在(-∞，+∞)内无界，但limxsinx≠∞；

x??2x?2不是无穷大量，也不是无穷x?(6) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (7) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）正确，见教材§2.3定理3； （2）错误，例当x?0时，sinx是有界函数，cotx?sinx?cosxcotx为无穷大量，不是无穷大量；

（3）正确，见教材§2.3定理2；

（4）错误，例如当x?0时，与?是无穷大量；

（5）正确，因为?M?0，?正整数k，使2kπ+1x111都是无穷大量，但它们之和?(?)?0不xxxπ?M，从而2ππππf(2kπ+)?(2kπ+)sin(2kπ+)?2kπ+?M，即y?xsinx在(??,??)内无界，

2222又?M?0，无论X多么大，总存在正整数k，使kπ>X，使f(2kπ)?kπsin(kπ)?0?M，即x???时，xsinx不无限增大，即limxsinx??；

x???（6）正确，见教材§2.3定理5；

（7）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f(x)=

3,x→2; (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞； 2x?41x(3) f(x)= e,x→0+，x→0-； (4) f(x)=

?-arctanx,x→+∞; 2 4

(5) f(x)=

11sinx,x→∞; (6) f(x)= 2xx2x?21?1，x→∞. x22解：（1）因为lim(x?4)?0，即x?2时，x?4是无穷小量，所以

1是无穷2x?4小量，因而

3也是无穷大量。 x2?4x?0x?1x???lnx???,limlnx?0,limlnx???， （2）从f(x)?lnx的图像可以看出，lim?所以，当x?0时，x???时，f(x)?lnx是无穷大量；

当x?1时，f(x)?lnx是无穷小量。

（3）从f(x)?e的图可以看出，lime???,lime?0， ??x?0x?0?1x1x1x所以，当x?0时，f(x)?e是无穷大量； 当x?0时，f(x)?e是无穷小量。

??1x1xπ?arctanx)?0，

x???2π?当x???时，f(x)??arctanx是无穷小量。

21 （5）?当x??时，是无穷小量，sinx是有界函数，

x1? sinx是无穷小量。

x （4）?lim(（6）?当x??时，

111?是无穷小量，是有界变量， 22xx?

111?是无穷小量。 x2x2习题2-4

1.若limf(x)存在，limg(x)不存在，问lim［f(x)±g(x)］, lim［f(x)·g(x)］是否存在，

x?x0x?x0x?x0x?x0为什么?

解：若limf(x)存在，limg(x)不存在，则

x?x0x?x0（1）lim［f(x)±g(x)］不存在。因为若lim［f(x)±g(x)］存在，则由

x?x0x?x0g(x)?f(x)?[f(x)?g(x)]或g(x)?[f(x)?g(x)]?f(x)以及极限的运算法则可得

5

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