关于“牛顿环”原理及其应用的研究分析和源代码实现（基于C++语

关于“牛顿环”及其应用的研究

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摘 要

1. 牛顿环的物理解释及历史背景。 2. 牛顿环实验的物理分析。 3. 牛顿环的应用举例。

4. 利用计算机解决牛顿环问题的源代码实现。

正 文

1.解释与背景

牛顿环，又称“牛顿圈”。光的一种干涉图样，是一些明暗相间的同心圆环。例如用一个曲率半径很大的凸透镜的凸面和一平面玻璃接触，在日光下或用白光照射时，可以看到接触点为一暗点，其周围为一些 明暗相间的彩色圆环；而用单色光照射时，则表现为一些明暗相间的单色圆圈。这些圆圈的距离不等，随离中心点的距离的增加而逐渐变窄。它们是由球面上和平面 上反射的光线相互干涉而形成的干涉条纹。在加工光学元件时，广泛采用牛顿环的原理来检查平面或曲面的面型准确度。在牛顿环的示意图上，B为底下的平面玻 璃，A为平凸透镜，其与平面玻璃的接触点为O，在O点的四周则是平面玻璃与凸透镜所夹的空气气隙。当平行单色光垂直入射于凸透镜的平表面时。在空气气隙的上下两表面所引起的反射光线形成相干光。

牛顿环是牛顿在1675年首先观察到的．将一块曲率半 径较大的平凸透镜放在一块玻璃平板上，用单色光照射透镜与玻璃板，就可以

观察到一些明暗相同的同心圆环．圆环分布是中间疏、边缘密，圆心在接触点O．从反 射光看到的牛顿环中心是暗的，从透射光看到的牛顿环中心是明的．若用白光入射．将观察到彩色圆环．牛顿环是典型的等厚薄膜干涉．平凸透镜的凸球面和玻璃平 板之间形成一个厚度均匀变化的圆尖劈形空气簿膜，当平行光垂直射向平凸透镜时，从尖劈形空气膜上、下表面反射的两束光相互叠加而产生干涉．同一半径的圆环处空气膜厚度相同，上、下表面反射光程差相同，因此使干涉图样呈圆环状．这种由同一厚度薄膜产生同一干涉条纹的干涉称作等厚干涉．

按理说，牛顿环乃是光的波动性的最好证明之一，遗憾的是，牛顿没有从实际出发，而是从他所信奉的微粒说出发，提出一个及其复杂的理论来解释牛顿环的形成。直到十九世纪初，托马斯．杨才用光的干涉原理解释了牛顿环现象，并参考牛顿的测量结果计算了不同颜色的光波对应的波长和频率。

2.模型分析

下面对牛顿环实验做一些定量分析。

我们的装置如图2所示。平凸透镜的凸面与玻璃平板之间形成一层空气薄膜，其厚度从中心接触点到边缘逐渐增加。若以平行单色光垂直照射到牛顿环上，则经空气层上、下表面反射的二光束存在光程差，它们在平凸透镜的凸面相遇后，将发生干涉。

图2 牛顿环装置

图3 干涉圆环

与k级条纹对应的两束相干光的光程差为

??2d??2 (1)

?为半波损失。 2?由干涉条件可知，当?=(２ｋ＋１) （ｋ＝0，1，2，3，...） 时，干涉

2条纹为暗条纹，即

??2d??(2k?1)

22得

kd?? （2）

2设透镜的曲率半径为Ｒ，与接触点Ｏ相距为ｒ处空气层的厚度为ｄ，由图2d为第k级条纹对应的空气膜的厚度；所示几何关系可得

R2?(R?d)2?r2

?R2?2Rd?d2?r2

由于Ｒ>>ｄ，忽略d的二阶小量

r2d? （3）

2R由(23-2)和(23-3)式可得第ｋ级暗环的半径为：

k?? rk2?2Rd?2R???kR? (4)

2由(4)式可知，如果单色光源的波长?已知，只需测出第k级暗环的半径r，即可算出平凸透镜的曲率半径R；反之，如果R已知，测出r后，就可计算出入射单色光波的波长?。

但是由于平凸透镜的凸面和光学平玻璃平面不可能是理想的点接触；接触压力会引起局部弹性形变，使接触处成为一个圆形平面，干涉环中心为一暗斑；或者空气间隙层中有了尘埃等因素的存在使得在暗环公式中附加了一项光程差，假设附加厚度为a（有灰尘时a > 0，受压变形时a < 0），则光程差为

??2(d?a)??2

由暗纹条件

2(d?a)?k??a 2将上式代人（4）得

?2?(2k?1)?2

得 d?kr2?2Rd?2R(??a)?kR??2Ra

2上式中的a不能直接测量，但可以取两个暗环半径的平方差来消除它，例如去第m环和第n环，对应半径为

?rm?mR? -2Ra

2rn?nR?-2Ra

两式相减可得

2rm?rn2?R(m?n)?

2所以透镜的曲率半径为

2rm?rn2 R? (5)

(m?n)?又因为暗环的中心不易确定，故取暗环的直径计算

22Dm?DnR? （6）

4(m?n)??? 由上式可知，只要测出Dm与Dn（分别为第m与第n条暗环的直径）的值，就能算出R或?。

牛顿环模型的其他形式

左图的牛顿环装置由曲率半径(R1和R2)很大的两个透镜组成，设入射光波长为?，一个半球状的透镜所示，一个是凹球面镜，两镜中间是空气，

3.应用举例

牛顿环装置常用来检验光学元件表面的准确度．如果改变凸透镜和平板玻璃间的压力，能使其间空气薄膜的厚度发生微小变化，条纹就会移动．用此原理可

以精密地测定压力或长度的微小变化．

用牛顿环还可以测玻璃材料的弹性模量 在应用牛顿环测薄平凸透镜曲率半径实验中，按照光的干涉理论，干涉环中心应是一个小黑点.然而实验中的干涉图样中心是一个具有一定面积的近似圆形的黑斑，这说明黑斑处的间隙厚度各处均为零，即此处透镜和平板玻璃之间发生了形变，故而形成了和理论不同的结果.通过受力分析可知，由于薄平凸透镜受平板玻璃的弹力和平板玻璃受透镜的压力，彼此均发生了形变，因而使干涉圆环中心由小黑点变成了圆形黑斑.根据静力学观点，此处的弹力和压力大小相等，方向相反，其大小等于平凸透镜的重力，而这个力正是接触点产生应变的原因.根据弹性力学理论，应力和材料的正应变的大小成正比，和材料的弹性模量E成反比，故我们可通过对接触面受到的应力及其产生的应变的测定，应用胡克定律来计算玻璃材料的弹性模量.

测透镜的曲率半径 方法同我们在实验中测曲率半径的方法

测中央暗斑面积 通过调制，可以得到一个中央是圆形暗斑的牛顿环干涉条纹，使用测量显微镜可以测得圆斑的直径D，其半径为r＝D/2，其面积S＝πr2.

测定薄透镜和平板玻璃的体积

应用液体静力称量法.设透镜体积为V，平板玻璃的体积为 V′，M、M′是薄平凸透镜和平板玻璃直接用天平称得的质量，P、P′是薄透镜和平板玻璃放在水中時用天平称得的质量，ρ0是水在温度 t℃时的密度，L为物理天平的臂长.根据力矩平衡原理有

MgL-ρ0VgL＝PgL

M′gL－ρ0V′gL＝P′gL

所以

设ΔV是薄平凸透镜和平板玻璃之间的总体变，平板玻璃的体变为δ，则

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