应用回归分析（第三版）何晓群 刘文卿 课后习题答案 完整版

第二章 一元线性回归分析

思考与练习参考答案

2.1 一元线性回归有哪些基本假定?

答： 假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；

假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi)=0 i=1,2, …,n Var (εi)=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关： Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 2.2 考虑过原点的线性回归模型 Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n 误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。求β1的最小二乘估计 解：

n?Qe?X)X?0??2?(Yi??1ii???i?11n?)2?(Y??Qe??(Yi?Y?i?1Xi)2ii?1i?1nn???1?(XY)iii?1n?(Xi)2i?1得：

2.3 证明（2.27式），?ei =0 ，?eiXi=0 。

????X))2?)2??(Y?(?Q??(Yi?Yii01i11nn证明：

????X???其中： Yi01i

即： ?ei =0 ，?eiXi=0

?ei?Yi?Yi?Q?0???0?Q?0???12.4回归方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在

什么条件下等价?给出证明。

答：由于εi~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n

所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , ?2 ) 最大似然函数：

12?2nL(?0,?1,?)??22ni?1fi(Yi)?(2??)2?n/2exp{??i?1[Yi?(?0??1?0,Xi)]2}n1Ln{L(?0,?1,?)}??ln(2??2)?22?2?i?1n[Yi?(?0??1?0,Xi)]2?就是β0，β1的最大似然估计值。 ?，?使得Ln（L）最大的?10同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，

nn????X))2?)??(Y?(?Q??(Yi?Yii01i211

上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。

所以在εi~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。

?是β0的无偏估计。 2.5 证明?0nX?X1n??证明：E(?0)?E(Y??1X)?E[?Yi?X?iYi)

ni?1Li?1xxnXi?XX?X11?E[?(?X)Yi]?E[?(?Xi)(?0??1Xi ??i)]

nLnLi?1i?1xxxxnnXi?XXi?X11?E[?0??(?X)?i]??0??(?X)E(?i)??0nLnLi?1i?1xxxxn2.6 证明 证明：

?)?(1?Var(?0nX2??Xi?1ni?X?1X2)???(?)nLxx222nnXi?XX?X211?Var(?0)?Var[?(?X)Yi]?[?(?Xi)Var(?0??1Xi ??i)]

nLnLi?1i?1xxxxXi?XXi?X22121X22??[()?2X?(X)]??[?]?

nnLxxLxxnLxxi?1n2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR

证明： nn2?)?(Y??Y]2SST???Yi?Y???[Yi?Yii??i?1i?1

2.8 验证三种检验的关系，即验证：

(n?2)r1?r2?2Lxx?SSR/121；（2）F? ??t2?SSE/(n?2)???i?1nn????YYi?2?2?i?1nn??)(Y??Y??)Yi?Y?Yi?Yiiii?1?n??2??Y??)??Y?Yi?Yiii?1i?1?2??2?SSR?SSE（1）t?证明：（1）

?L?rLyyLxxrLyy??n?2rn?2rxxt??????

22??SSE(Lxx(n?2))SSE(n?2)SSESST?Lxx?1?r（2）

????x?y)2?(y???(x?x)?y)2?(??i?y)??(?SSR??(y???1(xi?x))2???12Lxx01i1i2i?1i?1i?1i?1nnnn?2L?SSR/1?F??12xx?t2

?SSE/(n?2)?1(xi?x)222.9 验证（2.63）式：Var(ei)?(1??)?

nLxx证明：

?i)?var(yi)?var(y?i)?2cov(yi,y?i)var(ei)?var(yi?y????x)?2cov(y,y???(x?x))?var(y)?var(?i01ii1i(xi?x)21(xi?x)221????[?]?2?[?]nLxxnLxx22

1(xi?x)22?[1??]?nLxx?(x?x))?Cov(y,y)?Cov(y,??(x?x))Cov(yi,y??1iii1in(x?x)1n其中：?Cov(yi,?yi)?(xi?x)Cov(yi,?iyi)ni?1Lxxi?1

12(xi?x)221(xi?x)22?????(?)?nLxxnLxx2.10 用第9题证明证明：

??2?e?n?2是?2的无偏估计量

2i

1n1n2?)??)?E(?E(yi?yE(ei2)??n?2i?1n?2i?121n1n1(xi?x)22?[1??]? ?var(ei)?n?2?n?2i?1nLi?1xx?1(n?2)?2??2n?22.11 验证决定系数与F值之间的关系式

r2?证明：

F

F?n?2SSRSSR1??SSTSSR?SSE1?SSE/SSR1?

n?21?SSR/(SSE/(n?2))1F??n?2F?n?21?Fr2?2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算： 表2.6

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