数值分析题库

[数值分析] 题库

一． 单项选择题（每小题2分，共10分）

1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A可逆，且其n个特征值满足：?1A

1?10?5，则该数是（ ） 2C

??2?...??n，则A?1的主特征值是（ ）

11 B ?1?n11?1或?n D 或

?1?n?(k?1)3． 设有迭代公式

x?Bx?(k)?f?。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ）

A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散

4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）

A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU分解法

C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法

二． 填空题（每小题4分，共20分）

1． 设有方程组

?x2?x3?4??x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?023?1

，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为

???????101???2． 设A??21?1，则A? ??????111??23． 设y'?x?2y,y(0)?1，则相应的显尤拉公式为yn?1?

4． 设

f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在[0，1]上正交，则a=

?5． 设

x?(2,?2,?1)T，若有平面旋转阵P，使Px的第3个分量为0，则P =

???????? ???三． 计算题（每小题10分，共50分）

1． 求

27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？

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2． 设

f(x)?x?2x4,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

3． 设有方程组

4． 试确定常数A，B，C及?，使求积公式

?x1?2x2?2x3?1??x1?x2?x3?1 ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?2x?2x?x?123?11??1f(x)dx?Af(??)?Bf(0)?Cf(?)

为高斯求积公式。

?5．设有向量

x?(2,1,2)T，试构造初等反射阵H，使H?x?(3,0,0)T。

2阶收敛的，并求

四． 证明题（每小题10分，共20分）

1．设有迭代公式

xk?12xk?4* ，试证明该公式在x?4邻近是?2xk?3xk?1?4K??(x?4)2klim?? 。

?2.设x,y是n 维列向量，Q为n阶正交矩阵，且 模拟二

一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

y?Qx，试证y?x2? 。

21． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为

1?10?5，则该数是（ ）。 2A 0.00217 B 0.02170 C 0.21700 D 2.17000

2． 已知?是A的特征值，p是给定参数，则B=A-pE的特征值是（ ）。 A C

?+p B ?-p

?+2p D ?-2p

?(k?1)3． 设有迭代公式

x?Bx?(k)?f?，则||B|| < 1 是该迭代公式收敛的（ ）。

A 充分条件 B 必要条件

C 充分必要条件

4． 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。

A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代 C 平方根法 D 追赶法 5． 若尤拉公式的局部截断误差是O(h2)，则该公式是（ ）方法。

A 1阶 B 2阶

C 3阶 D 无法确定

二、 填空题（每小题4分，共20分）

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a)

b)

??21?1???设A??12?2，则A? 。

1????10?3???2x2?x3?1?设有方程组?2x1?x3?1 ，则可构

?x?x?x??123?1?????。

造高斯—塞德尔迭代公式为

c) 设

y'?xy?2，则相应的显尤拉公式为yn?1? 。

?d) 设

x?(1,2,?3)T，若有平面旋转阵P，使Px的第3个分量为0，则P =

????????。 ???e) 设

f(x)?ax?2,g(x)?2x2.若要使f(x)与g(x)在[-1，0]上正交，则a= 。

三．计算题（每小题10分，共50分）

1． 设

f(x)?x3?2x,若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

2．求32的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？

3．设有方程组

4．试确定常数A，B，C及?，使求积公式

?2x1?x2?x3?0??x1?x2?x3?1 ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?x?x?2x??123?11??1f(x)dx?Af(??)?Bf(0)?Cf(?)

有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。

212,,?)T5．设有向量x?(333?，试构造初等反射阵H，使H?x?(1,0,0)T

四．证明题（共20分）

2(xk?2)*1．设有迭代公式xk?1?xk? ，试证明该公式。在X?2附近是平方收敛的，并

2xk求limxk?1?2k??(x?2)2k 。

2． 设L1(x)是

f(x)的一次拉格朗日插值，试证：

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1f(x)?L1(x)?(x1?x0)2maxf''(x)x0?x?x18

模拟三

一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。

11?10?7 B. ?10?6 2211?10?5 D. ?10?4 C. 222、 若已知迭代过程xk?1??(xk)是3阶收敛， C是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是

A. （ ）。

A．limk??xk?1?x*kk?1k*x?x?xxC．limx?xk??*?3 B．limk??*(x?x)?xx?c D．lim(x?x)kk?1kk??xk?1?x**3*?3

*3?c

3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。

A. 4 B. 5 C. 8 D. 9

4、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。

A. LU分解法 B.追赶法 C.高斯消去法 D.平方根法 5、 设A的特征值满足|?1A.

。 |?|?r?1|?????|?n|，则相应幂法的速比rA?（ ）

?2?1 B.

?r?1?1 C.

?2?n D.

?2?n

二、 填空题（每小题4分，共20分）

1、过节点

x0??1，x1?0，x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值，其表达式

是 。 2、若

?x30?x?1?S(x)??1 32(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3??2是三次样条函数，则a? ,b? ,c? 。

?10?3、设A???，则Cond?(A)? 。

21??

4、设C=PA,其中P是三阶平面旋转阵，

?2?11???? ，若使

A??03?1=0，则P?C31?????2????31?

??。 ???第 4 页 共 30 页

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5、设

y'?2xy2?1，则相应的隐尤拉公式为 。

三、 计算题（每小题10分，共50分）。

1、 利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组

?x1?x2?1??x1?x2?2的近似解。 ?2x?x?12?1?2?11??A??111????11?2?????2、 设，

?1??2??b???2????1????。若线性方程组

Ax?b????仅有右端有扰动

?x?1?10?4 。试估计由此引起的解的相对误差

21??????b。

x?3、 确定求积公式

?1?f(x)dx?A0f(?1)?A1f(0)?A2f(1)，并指明其代数精度。

?x1?2x2?x3?1?4、 设有方程组?x1?x2?x3?0，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。

?2x?2x?x??123?125、 设有方程x?2x?3?0 。试确定迭代函数?(x)，使迭代公式xk?1??(xk)在

x*=3附近收敛，并指出其收敛阶。

四、 证明题（每小题10分，共20分）

1、 设U是n阶正交矩阵，A是n阶方阵。试证明||（提示：||A||2?2、设有差分公式

AU||2?||UA||2?||A||2 。

yn?1?(ATA) ）

h''?yn?(3yn?yn?1) 。试证明该公式是二阶公式。

2

模拟四

一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

1、 按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（ ）。 A. –7.0004 B.-7.000 C. –7 D.-7.0003

2、 若行列式|E?A|=0，其中E是n阶单位阵，A是n阶方阵，则A的范数满足（ ）。

||A||?1 B. ||A||?1

C. ||A||?1 D. ||A||?1 3、 条件数Cond(A)=（ ）。

A. A.|

A||A?1| B.||A?A?1||

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