矩阵的概念和运算

1。4 矩阵的概念和运算

教学要求 :

(1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。

(2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容：

前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性：

?1. D?0 ??2. 所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数）同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念

?x1?2x2?3x3?1???2x1?4x2?6x3??2 ?x?x?x?1?1231

它的系数行列式 D??2?2413?6?0 ?11此时Cramer法则失效，我们可换一种形式来表示：

?1?231???A???24?6?2?

?11?11???这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。

?1?23???A???24?6?

?11?1???这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。

注意：虽然D和A很相像，但是区别很大。D是行列式，实质上是一个数，而A是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。

关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：

1

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm

?a11a12?a21a22?他的系数矩阵：???am1am2a1na2namnb1??b2???bm?m?n

称为m行n列的矩阵，简称m?n矩阵，有时标记在右下角。

1）当m?n时，称m?n矩阵为长方阵（长得像长方形）； 2）当m?n时，称矩阵为n阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 3）当m=1时只有一行，即（a11 a12…a1n）称之为行矩阵（或行向量）；

?a11??a?21?4）当n=1时矩阵只有一列，即?称之为列矩阵（或列向量）；

??????am1?另外，行列式

a11a12是由以上m?n矩阵1，2两行和1，2两列上交点的四个元素组成的

a21a22一个2阶行列式，称为该矩阵的二阶子式。 二．特殊矩阵

??a?11（上三角）?0????0??a12?a1n??a22?a2n? ??????a0nn?

?a11??a21（下三角）????a?n10a22?an20???0? ?????ann???上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵

?a11??0（对角）????0?0??a22?0? ?????0?ann???0

0?0???0?a2(n?1)（次对角）??????a0?n10a1n??0? ???0???10?01?（单位阵）E????000??0? （零矩阵）所有元素全为零，记为Om?n ??1?“单位阵”和“零矩阵”类似于数当中的1和0 。

2

三．矩阵相等 ?例如，矩阵

?同型：两矩阵行数、列数对应相等?对应元素相等

?a11a12a13??109?A???aaa??,B???31?3?,

???212223?若A = B ，则 a11=1, a12=0, a13=9, a21=-3, a22=1, a23=-3． 四．矩阵的四则运算

过去我们学习的数、式子、极限、导数有四则运算法则，今后将学习的概率中的事件也有加法和乘法的运算，即事件的并和事件的交。今天，数表――矩阵也有加减乘除的四则运算法则。 1．加法（减法）

A?B?(aij?bij)

即对应位置上的元素进行加减运算

例1 设矩阵 A????2?解：

?30?4???234????，求A+B，A-B. ,B????5?1??0?21??30?4???234??130?A?B????25?1?????0?31??????220??,

???????30?4???234??5?3?8?A?B????25?1?????0?31??????28?2??.

???????12?注意：c???与A，B则不能进行加法运算，可见，只有同型矩阵才能进行加减法运算。

34??运算规则：

（1）加法交换律 A + B = B + A；

（2）加法结合律 （A+B）+C = A+（B+C）； 2．数乘

一个数乘矩阵是这个数乘矩阵所有的元素，这点与行列式根本不同.

?1?2??1?2?????，求

2例2 设两上3×2矩阵A，B为A?20,B?35A?4B

???????13????1?2??解： 先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A和2B的差

3

?5?15?(?2)??5?10?????因为 5A??5?25?0???100?5?15?3?????515?,

???4?14?(?2)?4B???4?34?2?????4?8??128???4?(?1)4?(?2)??,

????4?8???5?2??4?8??所以 5A?4B???100???128???16??2?8? ?515???????????4?8????923??运算规则：

1．分配率：数对矩阵的分配律k(A+B)=kA+kB，矩阵对数的分配律(k+l)A=kA+lA 2．结合率：数与矩阵的结合律(kl)A=k(lA)= l(kA)

３．矩阵乘矩阵

矩阵与矩阵相乘，两张表格拿来乘，不是简单的对应元素相乘，另有其规则。

?例3 A??12??12??34?? B????56???34??

2?23?2解：

?矩阵乘矩阵，即左矩阵的行乘右矩阵的列 A?B??12?34??12??????

??56???34?得到的新矩阵的第i行第j列元素是原来?1?1?2?31?2?2?左矩阵的第i行元素与右矩阵第j列元素 ??4??3?1?4?33?2?4?4??乘积之和。

?5?1?6?35?2?6?4?

??? ??710??1522???

?2334??3?2例4 A???32?1??1 3??0?35?? B???50?2?3??? ?0 6??3?2 4

?1 3??32?1???解： AB?????50?

?0?35?2?3?0 6???3?2??73? ???

1530??2?2?1 3????32?1? BA??50???0?35?

?2?3?0 6????3?2-714??3?? ???15?105?

?0?1830???3?3可见 ：1）矩阵乘法未必满足交换率

2）新矩阵与原矩阵关系――型状上的规律性：新矩阵的行数与列数即为：原左矩阵的行

数和原右矩阵的列数。

3）而原左矩阵的列数必须与右矩阵的行数相等，才能进行乘法。 例5 设矩阵

?24??2?2?A???12??,B???11??

????求AB和BA 解： AB????24??2?2??2?2?4?(?1)2?(?2)?4?1)????? ????????12???11??1?2?2?(?1)1?(?2)?2?1)? ???0??00?? 0??例5中矩阵A和B都是非零矩阵，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB却是一个零矩阵。这在数与代数式的运算中是没有的。 矩阵的行列式

矩阵A的行列式称为矩阵的行列式，记为 detA 或 A 。

12?12?例如 A?? ? 则 A?3434??特殊的，对于方阵乘积的行列式有如下非常类似于一般代数运算的运算律：

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