2013年广州市一模文科数学试题与答案（详细解析版）(2)

2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．

题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 B 6 C 7 A 8 D 9 B 10 C

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11．?1,2? 12．12.38 13．8，n?n?2 14．?1,2?11??6?? 15．4 ?说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：?1,?11???2k??(k?Z). ?6?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵f(x)的最大值为2，且A?0，

∴A?2. ?????1分 ∵f(x)的最小正周期为8， ∴T?2???8，得???4. ?????3分

∴f(x)?2sin(?x?). ?????4分

44?（2）解法1：∵f(2)?2sin?????????2cos?2， ?????5分

4?24?6

????f(4)?2sin??????2sin??2， ?????6分

4?4?∴P(2,2),Q(4,?2). ?????7分 ∴OP?6,PQ?23,OQ?32. ?????10分

∴cos?POQ?OP?OQ?PQ2OPOQ222????62?32??2?23?226?32?3.??12分 3解法2：∵f(2)?2sin?????????2cos?2， ?????5分

4?24?????f(4)?2sin??????2sin??2， ?????6分

4?4?∴P(2,2),Q(4,?2). ?????8分 ????????∴OP?(2,2),OQ?(4,?2). ?????10分 ????????????????OP?OQ63∴cos?POQ?cos?OP,OQ?????. ?????12分 ???????36?32OPOQy解法3: ∵f(2)?2sin?????????2cos?2，?????5分 4?24?OPQ1P1Qx????f(4)?2sin??????2sin??2，?????6分 4?4?∴P(2,2),Q(4,?2). ?????7分 作PP?x轴, QQ1?x轴,垂足分别为P,Q1, 11∴OP?6,OP2,OQ?32,OQ1?4,QQ1?1?2,PP1?2. ???8分

设?POP?1则sin???,?QOQ1??,

36122. ?????10分 ,cos??,sin??,cos??3333∴cos?POQ?cos

??????cos?cos??sin?sin??3.???12分 37

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）

（1）解:样本中产量在区间45,50?，????1分 ?上的果树有a?5?20?100a（株）

样本中产量在区间?50,60?（株）， ?上的果树有?b?0.02??5?20?100?b?0.02??????2分

依题意，有100a??44?100?b?0.02?，即a??b?0.02?.①????3分 33根据频率分布直方图可知0.02?b?0.06?a?5?1， ② ????4分 解①②得:a?0.08,b?0.04. ?????6分 （2）解：样本中产量在区间50,55??上的果树有0.04?5?20?4株，分别记为

?????? 7分 A1,A2,A3,A4，

产量在区间55,60??上的果树有0.02?5?20?2株，分别记为B1,B2. ? 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：A1,A2,A1,A3，A1,A4

?????????4??A,B?,?A,B?,?A,A?,?A,A?,?A,B?,?A,B?,?A,A?,?A,B?,

111223242122331?A,B?，?A,B?,?A,B?,?B,B?. ?????10分

32414212 其中产量在55,60??上的果树至少有一株共有9种情况：A1,B1,A1,B2,

??????A,B?,?A,B?,?A,B?,?A,B?,?A,B?,?A,B?，?B,B?. ???11分

21223132414212 记“从样本中产量在区间50,60??上的果树随机抽取两株，产量在区间55,60??上的

果树至少有一株被抽中”为事件M，则P?M????93?. ?????12分 15518．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接AC，AC与BD相交于点O, 连接MO， ∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点. ?????1分

8

∵M为PC的中点，

∴MO//AP. ?????2分 ∵PA?平面BMD,MO?平面BMD,

∴PA//平面BMD. ?????3分 (2)证明:∵PD?平面ABCD，AD?平面ABCD，

∴PD?AD. ?????4分

? ∵?BAD??BCD?60，AB?2AD， 2P ∴BD?AB2?AD2?2AB?AD?cos60? 222M ?AB?AD?2AD

?AB?AD. ?????5分 ∴AB222DONBC?AD2?BD2. A ∴AD?BD. ?????6分 ∵PD?BD?D，PD?平面PBD，BD?平面PBD， ∴AD?平面PBD. ?????7分 ∵PB?平面PBD，

∴AD?PB. ?????8分

（3）解：取CD的中点N，连接MN，则MN//PD且MN? ∵PD?平面ABCD，PD?2，

1PD. 2 ∴MN?平面ABCD，MN?1. ?????9分

CD?AB?PD?2，DM? 在Rt△PCD中，

∵BC//AD,AD?PB,

11PC?22PD2?CD2?2，

9

∴BC?PB.

在Rt△PBC中，BM?1PC?22. 在△BMD中，BM?DM，O为BD的中点, ∴MO?BD.

在Rt△ABD中，BD?AB?sin60??2?3?23.

在Rt△MOB中，MO?BM2?OB2?5. 215.????11分 4∴SΔABD?131，SΔMBD??AD?BD??BD?MO?222 设点A到平面BMD的距离为h， ∵VM?ABD?VA?MBD， ∴?MN?SΔABD?131?h?SΔMBD. ?????12分 3 即1325151??h??1?， 解得h?. ?????13分

33254 ∴点A到平面BMD的距离为

25. ?????14分 519．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当n?2时，Sn?1?4Sn?1?5Sn，

∴Sn?1?Sn?4Sn?Sn?1. ?????1分 ∴an?1?4an. ?????2分 ∵a1?2，a2?8，

∴a2?4a1. ?????3分

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