附面层理论

10.4.3雷诺方程

对于不可压缩粘性流动，在不考虑质量力的情况下， N — S 方程具有下列形式

（ 10.54a ）

利用不可压流瞬时运动的连续方程

可将式（ 10.5 4 a ）改写成

（ 10.54b ）

然后对式（ 10 .5 4b ）中的第一式进行时间平均运算，则有

（ 10.55 ）

由于 （

，应用时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即），可得

这样式 （ 10.55 ） 经过化简后，可表示为

再应用时均运动的连续方程 （ 10.53 ） ，上式可化为

同理可得 （ 10.56 ）

（ 10.56 ）

方程组 （ 10.56 ） 就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程。

10.5.1 附面层的概念

1 ．附面层厚度及流动阻力

粘性是流体的重要属性。根据流体粘性的特点，在靠近物体表面处，流体将粘附在物面上而流速为零，即满足无滑移条件。而沿物面的法线方向上，流速逐渐增加，到某一距离处，流速与外边界速度近似相等。我们定义靠近物体表面，存在较大速度梯度的簿层称为附面层或边界层。通常定义当 V=0.99V 0 （ V 0 为附面层外边界的速度）时的垂直物面的法向距离为附面层厚度，用

表示。在航空上，有实际意义的问题大多属于大雷诺数下的流动问

是个小

题。此时紧帖物面法线方向速度梯度很大的这一层都是很薄的，因此附面层厚度

量。气流流过物体表面的距离越长，附面层厚度也越大，即附面层厚度随气流流过物体的距离而增加。粘性影响较大的另一种情况是流体在物体后面的部分，通常要离开物体的表面，即在物体后面形成所谓的尾迹区。由于粘性的作用较强，粘性切应力作用较大，因而形成流

动阻力。显然，该阻力产生的根源是流体与物体表面之间的摩擦以及附面层分离引起的。之外，由于附面层脱离后的尾迹区中，还会导致物体表面上产生流动方向的压力差，因而形成所谓的压差阻力。

在附面层外边界，流速接近于外边界速度，因此附面层外边界的速度梯度很小。而空气的粘性系数也很小，所以在附面层之外，可以忽略粘性的影响，而作为理想流动来处理。总之，在靠近物体表面的附面层内以及在物体之后的尾迹区内，粘性都有显著的影响。 2 ．附面层中沿物面的法向压强保持近似不变

在附面层内，除了速度梯度 很大外，还有另外一个重要的特点，对于物面曲率半

径比较大，即物面不太弯曲的情况，沿着其物面的法线方向流体压强保持近似不变。如果测量流体流过平板的附面层内沿 y 方向的压强梯度，的确可以得到在附面层内压强 p 沿 y

方向不变 , 即 。该结论非常重要，它可以使附面层运动方程大大简化。同时它还

使得理想流体的结论具有实际意义。当按理想流体理论计算附面层外边界的压强分布后，即可得到物面上对应点的压强。 3 ．位移厚度

和动量损失厚度

所谓的位移厚度 就是由于附面层内速度降低而要求流道加宽的厚度，即全部粘流所

占的流道比无粘流体流动应占流道所加宽的部分，即是位移厚度。 设物体上某点处的附面层厚度为

如图 10.6 所示，垂直纸面方向为单位宽度。则粘

性流体与理想流体同时流过该物面时，由于粘性流体中附面层的影响，所减少的质量流量为

图 10.6 附面层位移厚度

其中

是附面层外边界处理想流体的密度和速度；

分别是附面层内的密度和

速度。这些减少的质量流量要在主流中挤出 体

流过

距离上的质量流量，即

的距离才能流过去。因此它应等于以理想流

所以得

（ 10.62 ）

由此可见，在质量流量相等的条件下，犹如将理想流体的流动区域自物面向外移动了一个

的距离。它表示了由于粘性的作用，附面层内流体质量流量相对理想流体减小的程度。

计算流体力学中的附面层与相应的计算网格 对于不可压流体，上式可改写为

(10.63)

根据以上的分析，如果按理想流体设计的型面，为了使相同质量流量的粘性流体能够通过，则物面应向外移动一个

的距离。

位移厚度的概念，对于流动方向要求严格的流道设计具有重要的意义。特别是对于管道内出现声速截面时，实际管道壁面必须进行修正。由于流通面积的复杂性，精确的

的值

很难计算准确，下面给出一种 相对简便的近似 方法。

设附面层位移厚度取决于当地马赫数和沿流动下游的距离，即假设位移厚度与流向距离成正比，则根据经验知位移厚度随马赫数的变化按下列规律确定：

（a）

式中，

与马赫数的关系为

（ b ）

式中，

式（ a ）和（ b ）适合于设计马赫数直到 10 的超声速及高超声速喷管。 由于附面层内的流速小于理想流体的流速，因此附面层内流体的动量也会减小。单位时间内通过附面层厚度 理想流体速度 内以速度

的流体实际具有的动量为 运动时，所具有的动量为

的流体流过一层厚度为

＝

称为动量损失厚度，即

，此部分流体若以附面层外边界上，因此其动量损失应等于单位时间的流体所具有的动量，即 －

、密度

（ 10.64 ）

对不可压缩流体，

， 则

（ 10.65 ）

10.5.2 附面层的转捩

根据雷诺实验，粘性流体存在着两种流态，即层流和湍流。附面层流动和管流一样有层流附面层和湍流附面层之分。实验观察表明，流体从物体前缘开始，先形成层流附面层。层流附面层的存在有一个极限情况，超过此极限时，层流处于不稳定状态，并逐渐过渡为湍流附面层。图 10.7 是均匀来流流过平板时的流动图形，图中 O-A 称为层流附面层， A-B 称为转捩段，转捩起点 A 距平板前缘的距离用 界雷诺

表示，对应于转捩点 A 的雷诺数称为临

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