三角函数论文

浅谈三角函数 摘 要

三角函数具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，是描述周期现象的重要数学模型，在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。

关键词：数学 三角函数 定义 运用

Abstract

Triangle function has the formula, flexible, rich, change ideological characteristics, strong permeability,describes the important mathematical model periodic phenomenon, In teaching and other areas it plays an important role. This paper will trigonometric function of some about the application in solving practical problems do simple discussion.

Keywords: mathematics trigonometric definition use

2.1、引言

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。在古希腊，为了便于观察天体的运行及解球面三角形﹐著名天算家托勒密(Ptolemy,约87-165)在前人希巴卡斯(Hipparchus,约公元前180-125)的基础上，也编制了所谓“弦表”，他藉助于几何知识，编制了弦长表，在编制中，也曾发现一些球面三角学与平面三角学的关系式，并且计算过弧的弦长；可是，希腊人却未引用“α余弧的弦”或“余弦”这类名称。 ８－１２世纪，希腊文化传入印度以及阿拉伯﹐在这些国家里，不但提出“正弦”一词﹐还以几何方法定义了“余弦线”﹑“正切线”﹑“余切线”以及“正矢线”的意义﹐并编制了各

种三角表；其编制方法虽不相同，但编制的数值却相当精密，对三角学提供了不少贡献；阿拉伯天文学家纳速拉丁(Nasir al-Din al-Tusi,1201-1274)在他的著作《论四边形》里，首先把三角学从天文学中分割出来，看作为一门独立的学科。１２－１５世纪，三角学传入欧洲，德国著名数学家列吉奥蒙坦

(Regiomontanus,1436-1476) 与纳速拉丁一样，也把三角学看作一门独立学科，着有《论各种三角形 (De triangulis omnimodis)》，其中重点讨论了三角形的解法，并编制了十分精密的“正弦表”，还创造了一些三角公式，对三角学理论提高到一定的水平，为三角学发展起到了不可忽视的作用。

2.2、三角函数定义

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

2.2.1、锐角三角函数

在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C

为直角。则定义以下运算方式：

sin A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA＝a/c cos A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA＝b/c tan A=∠A的对边长/∠A的邻边长， tanA＝sinA/cosA＝a/ b tan A记为∠A的正切；

当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 sinA＝cosB sinB＝cosA

2.2.2 、常见三角函数

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。

在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六

种运算方法： 图一 表一 基本函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 英文 Sine 表达式 sin θ=y/r 语言描述 角θ的对边比斜边 Cosine Tangent Cotangent Secant Cosecant cos θ=x/r tan θ=y/x cot θ=x/y sec θ=r/x csc θ=r/y 角θ的邻边比斜边 角θ的对边比邻边 角θ的邻边比对边 角θ的斜边比邻边 角θ的斜边比对边 2.2.3 、非常见三角函数 除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰： 表二 函数名 正矢函数 余矢函数 与常见函数转化关系 函数名 versinθ=1-cosθ coversθ=1-sinθ 半余矢函数 外正割函数 外余割函数 与常见函数转化关系 hacoversθ=(1-sinθ)/2; exsecθ=secθ-1 excscθ=cscθ-1 半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2;

2.3实际应用

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。

2.3．1停车场设计问题

2.3.1.1、如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇

形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连AP，延长RP交AB于M。若直接设RP的长度为x，则PM=100－x,在Rt△APM中，AM=902?(100?x)2，从而得PQ=MB=100－902?(100?x)2，S=

（100－90?(100?x)）·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积 图二 的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。

解：如上添加辅助线，设∠PAB=θ（00<θ<900），则AM=90cosθ,PM=90sinθ，RP=RM－PM=，PQ=MB=100－90cosθ，∴S=PQ·PR=（100－90cosθ）·（100－90sinθ）=10000

22t2?1－9000（sinθ+ cosθ）+8100 sinθcosθ。设sinθ+ cosθ=t(1

2810010210代入化简得S=（t－）+950。故当t=时，Smin=950(m2)；当t=2时，Smax=14050

299－90002(m2)

2.3.2、通讯电缆铺设问题

例2、如图，一条河宽km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为AD+DB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨设∠CAD=θ。

解：设∠CAD=θ（0<θ<900），则AD=secθ,CB=15,BD=15－tanθ,

图三 C

D

B

A θ 河

∴总费用为y=4 secθ－2tanθ+215=问题转化为求u=

4?2sin?+215

cos?4?2sin?的最小值及相应的θ值，而 cos?sin??2u=－2·表示点P（0，2）与点Q（cosθ,sinθ）斜率的－

cos?12倍（0<θ<900），有图可得Q在单位圆周上运动，当直线PQ与

4?圆弧切于点Q时，u取到最小值。此时KPQ=?3，∴umin=23，θ=。 图四

63即水下电缆应从距B城（15－）km处向A城铺设，图三因此此时总费用

3达最小值23+215（万元）。

注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

2.3.3、食品包装问题

2.3.3.1、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

P 解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=cotθ,

R?母线长l=，高h=Rtan2θ，θ∈（0，）。则S全=πRl+π

cos2?4R1R2=πR(+R)=πR2(+1) =πcot2θO

cos2?cos2?12?A (+1)=; 图五 C 21?tan?tan2??(1?tan2?)1?tan2?2tg?11111V=πR2h=πR2 ·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π

1?tg2?333332 22tg?(1?tg?)B

∴当且仅当tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=

2时，能使S全和V同时取到最小值，2

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