南京工业大学2010-211期末高等数学A-2试卷A(2011.06)

南京工业大学 高等数学A-2 试卷（A）卷（闭）

2010--2011学年 第 二 学期 使用班级 江浦10级 学院 __ 班级 __学号 __ 姓名 __ ___

题号 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分

一、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分，每小题给出四个选项，请将正确答案填在题后的括号内）

1．若f(x,y)在(x0,y0)处可微，则在(x0,y0)点下列结论中不一定成立的是（ C ）

(A)连续 (B)偏导数存在 (C)偏导数连续 (D)切平面存在

2. 直线

x?5y?3z?1??与平面x?2y?5z?11?0的位置关系是（ D ） 2?23(A)平行但不在平面上 (B)在平面上 (C)垂直 (D)斜交

3. 若曲面?：x2?y2?z2?a2，则

2(x?y?z)dS＝（ C ） ????(A)pa4 (B)2pa4 (C)4pa4 (D)6pa4

1n)，则级数（ B ） 4．设un?(?1)ln(1?n(A)?un与?un都收敛 (B)

2

n?1?n?1???

n?1??un收敛而?un发散

2

n?1?

??

(C)?un与?un都发散 (D)?un发散而?un收敛

22

n?1n?1n?1n?1

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分，请将正确答案填在题后的横线上）

????????1．已知矢量a,b的模分别为|a|?2,|b|?2,及a?b?6，则a?b??2 ? 2 __ 。

1?⒉ 已知z?ln(?1x),则dz(1,1)? ?dx?dy? 。

2y(x?1)n3．幂级数?n的收敛域是 ??1,3? ____ 。

2?nn?14．设函数f(x)????1,?1?x,2???x?00?x??，则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处收

敛于 _ 。

三、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程） 1．求过点(3,1,?2)且通过直线L:x?4y?3z??的平面方程。 521由已知点A(3,1,?2),B(4,?3,0)在平面上，直线L的方向向量为s?(5,2,1) 则AB?(1,?4,2)，所求平面的法向量为n?AB?s?(?8,9,22) 平面直线的方程为8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0 即为8x?9y?22z?59?0

2. 设

????z?zxz?ln ，求,。

?x?yzy

Fx?1,Fy?z,Fz?lny?lnz?1; yF?z1z??x??, ?xFzlnz?lny?1x?zFy?zzz2 ?????yFzy(lnz?lny?1)y(x?z)

3. 计算积分

??eDyxyxdxdy，其中D:由y?x2,y?2x所围成的区域。

22xyx??eDdxdy??dx?2edy

0x ??202x(e2?ex)dx

?e?1

4. 计算半径为R、中心角为2?的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度??1）。

四、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程）

?2z1．设z?f(x,xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求。

?x?y

xyz2. 设f(x,y,z)?e?x2?y2,

(1) 求f在点P?1,1,1?处的梯度; (2) 求f在点P?1,1,1?处方向导数的最大值。

3．计算曲面积分I?22232xzdydz?yz?1dzdx?9?zdxdy ???2????其中?为曲面z?x?y?1 ?1?z?2?，取下侧。

4. 将函数f?x??

1展开成?x?3?的幂级数，并求展开式成立的区间。

x2?3x?2

五、应用题题（本题满7分）

求质点M(x,y))受作用力F?(y?3x)i?(2y?x)j沿路径L所作的功W，其中L是沿椭圆4x2?y2?4顺时针方向的一周。

六、综合题（本题满7分）

某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为

c(x,y)?x2?2y2?xy （万元）

若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？

七、证明题（本题满6分）

?设an??401tanxdx，证明：级数?(an?an?2)收敛于1。

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