概率论与数理统计试卷及答案(1)

一、填空题 (每小格3分，共42分，每个分布均要写出参数) 1．设

A,B为两随机事件，已知P(A)?0.6,P(B)?0.5,P(AB)?0.3 ，则P(A?B)? ___，

P(AA?B)?_ _。

2．一批产品的寿命X(小时)具有概率密度

?a?,x?800，则a?_ _，随机取一件产f(x)??x2??0,x?800品，其寿命大于1000小时的概率为_ ；若随机独立抽取6件产品，则至少有两件寿命大于1000小时

的概率为_ _；若随机独立抽取100件产品，则多于76件产品的寿命大于1000小时的概率近似值为_ _。

3．设随机变量(X,Y)~2N(?1,?2,?12,?2,?)，已知X~N(0,1),Y~N(1,4)，???0.5。设

Z1?3X?Y,Z2?7X?4Y，则Z1 服从_ __分布,Z1与Z2的相关系数?Z1Z2?__ ___，

Z1与Z2独立吗？为什么？答： 。

4．设总体

X~N(?,?2),?,?(?0)是未知参数，X1,?,X10为来自X的简单随机样本，记

X与S2为样本均值和样本方差，则X2是?2的无偏估计吗？答：__ __；若

P{S2?b?2}?0.95，则b?_ _； P{S2??2}?_ _；?的置信度为95％的单侧置信下限

为_ ；对于假设H0

二．（12分）某路段在长度为t（以分计）的时间段内，在天气好时发生交通事故数松分布)，天气不好时事故数

:?2?1,H1:?2?1的显著性水平为5％的拒绝域为_ _。

X1~?(t)(泊480tX2~?()。设在不重叠时间段发生交通事故的次数相互独立。（1）若

1206:00-10:00天气是好的，求这一时段该路段没有发生交通事故的概率；（2）设明天6:00-10:00天气好的概率为

70％，求这一时段该路段至少发生一次交通事故的概率；（3）若6:00-10:00天气是好的，求该路段在6:00-10:00至少发生一次交通事故的条件下，6:00-8:00没有发生交通事故的概率。

?x,0?x?1,0?y?3x三．（12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度f(x,y)??

0,其它?（1）问X与Y是否独立？说明理由；（2）求条件概率密度fYX(yx)；（3）设Z?X?Y，求Z的概率密度

fZ(z)。

四．（12分）某车站（春节前）规定1人最多可买3张票，今有甲乙丙3人结伴买票，他们先各自排队，让先排到者买这3人的票，其余2人退出排队。设每个队等待时间独立，且都服从均值为20分钟的指数分布，记买到3张票的等待时间为Y分钟。（1）求甲排队时间超过20分钟的概率；（2）求Y大于20的概率；（3）求Y的概率密度。

2010–2011学年春夏学期

一． 填空题（每小格3分，共42分）：

1.某人在外兼职，设一次的劳务收入X（以元计）在区间（22，32）上均匀分布，且各次收入独立，则

X的分布函数F(x)?__________________；4次兼职中至少有2次收入不少于30元的概率为

_____________，4次兼职的平均收入为_______________元.

2.一批产品的寿命服从均值为1?的指数分布，今从中随机独立取两件，分别用X1,X2记其寿命，设

；记

?1,Wk???0,Xk?k?,Xk?k?.k?1,2．则W1的概率分布律为

___________________Y1?WW12,Y2?max(W1,W2) ，则Y1的概率分布律为，Y2的概率

___________________分布律为

.

___________________3. 某煤矿一天的产煤量X（以吨计）的均值为1.5吨，标准差为0.2吨，设各天产煤量相互独立，Y表示一个月（按30天计）的产煤量.用切比雪夫不等式估计P{Y?45?2}?_______________；用中心极限定理计算P{Y?46}近似等于__________.

1924． 设总体X~N(?,?)，X1,?,X9为来自X的简单随机样本，X??Xi，

9i?19(X??)2192S??(Xi?X)，则2X1?X服从_______________分布（要求写出参数）；

?28i?12服

从____________分布（要求写出参数）；对于假设H0为________________；X1?2X2与X1?:??2,H1:??2的显著水平为0.05的拒绝域

X2的相关系数为_________________．

?3863米，标准差s?25.8的置信区间为

5．为测量一山脉离开海平面的高度，共测了9次，得9次的平均高度x米.假设样本来自总体N(?,?2

2),?,?2均未知，则置信度为95％的?______________，?的置信区间为___________________。 二．(8分) 小李每天坐公交车上班，设他可能的等车时间为

X分钟，其分布律为

P(X?5)?P(X?10)?P(X?20)?1/3，（1）求等车时间不超过10分钟的概率；（2）记

Y?max(X,10)，求Y的分布函数。

三．（12分）设X1与X2为两随机变量，它们的取值均为0,1,2，已知P{X1?i}?1/3,i?0,1,2, ?0.4,P{X2?jX1?i}???0.3,（1）P{X2i?j,i?j?1.i,j?0,1,2．求

?2X1?0}；（2）P{X2?2}；（3）X1与X2的协方差．

六． （12分）设二元随机变量(X,Y)具有概率密度函数

?6y,0?y?x?1,，求：(1) 求X的边际概率密度fX(x)；(2) 求条件概率密f(x,y)??其他.?0,度fYX(y2；(3)设Z?X?Y，求Z的概率密度fZ(z)． 3)

试卷解答

一．填空题

1．(1) 0.9 (2) 6/7 2. (3) 800 (4) 4/5

(5) 624/625=0.9984 (6) 0.84

3．(7) N(-1,19) (8) 0 (9)独立，因为Z1与Z2不相关 4. (10) 不是无偏估计 (11) 1.88 (12) 0

S2t0.05(9)?X?0.5787S (14) 9S2??0.95(9),即S2?0.3689 10?0.5二．（1）p1?e?0.6065

(13)

X?（2）

p2?0.7(1?e?0.5)?0.3(1?e?2)?0.5348

e?0.25(1?e?0.25)?0.4378 （3）p3?1?e?0.5三．（1）

13x22????0xdy?3x,0?x?1??y/3xdx?(9?y)18,0?y?3fX(x)??,fY(y)????0,其它0,其它 ??f(x,y)?fX(x)fY(y), X与Y不独立。?1?,0?y?3x （2）fYX(yx)??3x

?其它?0,?z15z2??z/4xdx?32,0?z?1??16?z2?1 （3）fZ(z)????f(x,z?x)dx???z/4xdx?32,1?z?4

?其它?0,??四．记甲乙丙排队时间分别为X1,X2,X3分钟，

x1?20edx?e?1?0.3679 （1）P{X1?20}??2020Y?min{X1,X2,X3}?? （2）

（3）

P{Y?20}?P{X1?20,X2?20,X3?20}?[P{X1?20}]?e?0.0498y?0,FY(y)?0y?0,FY(y)?1?[P{X1?y}]?1?ey?0y?0试卷解答

3?3y3?3

y?3?320?e,fY(y)??20?0,?0,x?22,??x?22? 一．1.F(x)??,22?x?32,， 113/625=0.1808, 108

10?1,x?32??1??02. ?,?1?1?1?ee??3. 0.7, 0.82

1??0,??3?3?1?ee??01?? ??1?2?1?2?(1?e)(1?e)1?(1?e)(1?e)???1010

112?),35. (3863?19.866),4. N(?,二．

?2(1),S2?1.365,(303.77,2442.72)

(1)P(X?10)?2/3y?10,?0, ?(2)FY(y)?P(max(X,10)?y)??2/3,10?y?20,?1,y?20.?三．

(1)P(X2?2X1?0)?1?P(X2?0X1?0)?P(X2?1X1?0)?0.3,(2)P(X2?2)?P(X1?0)P(X2?2X1?0)?P(X1?1)P(X2?2X1?1)?P(X1?2)P(X2?2X1?2)?1/3,X1\\X20104/303/3013/304/3023/303/30p1/31/3E(X1)?E(X2)?1,2p3/301/33/301/34/301/31/31E(X1X2)?16/15,(3)

Cov(X1,X2)?E(X1X2)?E(X1)E(X2)?1/15.六．

?3x2,0?x?1,(1)fX(x)??f(x,y)dy????其他.?0,20?y?3,?9f(22y,3,y)2(2)fYX(y3)???其他.fX(2)?0,3(3)z?0,FZ(z)?0,z?1,FZ(z)?1,?

6ydy?1?(z?1)3,0?z?1,FZ(z)?P(X?Y?z)?1??dx?z1z?x0?3(1?z)2,0?z?1,fZ(z)??0,其他.?

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