北师大版数学选修1-1教案：第2章-知识拓展：由椭圆离心率求法探

由椭圆离心率求法探讨最大角的应用

x2y2例：设椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存

ab在点P，使?F1PF2?90?，求离心率e的取值范围。 常见解法有： 解法1：利用曲线范围

设P（x，y），又知F1（?c，0），F2（c，0），则

F1P?(x?c，y)，F2P?(x?c，y),由?F1PF2?90?，知F1P?F2P， ??则F1P?F2P?0，即(x?c)(x?c)?y2?0,得x2?y2?c2????将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得

a2c2?a2b2x?a2?b22但由椭圆的范围及?F1PF2?90?可知0?x2?a2,即0?ac?ab2?aa2?b22222

可得c2?b2，即c2?a2?c2，且c2?a2,从而得e? 所以e?[解法2：利用基本不等式

由椭圆定义，有2a?|PF1|?|PF2|，平方后得

c2c?，且e??1a2a2，1）2

4a2?|PF1|2?|PF2|2?2|PF1||?PF2|?2(|PF1|2?|PF2|2)?2|F1F2|2?8c2

c212得2? 所以有e?[，1）

2a2解法3：利用最大角范围

由已知可知椭圆的最大角范围为??900，所以

e?c?2?sin?sin450? a22又0?e?1

所以有e?[2，1） 2很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：?F1B2F2即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在B1或B2位置时，?F1PF2最大。此时在?OB2F2中，

OF2?c,OB2?b,B2F2?a,sin?OB2F2?c?e a最大角还可以快速解决一些其他问题：

x2y2??1上的一点，则?F1PF2为直角的点P有_____个． 1.P为

4020x2y2??1(m?0,m?40)上有4个点M,使?F1MF2为直角，则m的范围是2.

40m_________．

总结：当c?b时，?OB2F2?450,?F1B2F2?900

当c?b时，?OB2F2?450,?F1B2F2?900， 当c?b时，?OB2F2?450,?F1B2F2?900

综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于c?b，故满足题意的P点有两个，第二题中由于M点有四个，故最大角应该大于900，此时

当0

综上可知：0?m?20或m?80再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P，使?F1PF2?60?，则离心率e的取值范围又是多少？此时最大角范围应该??600，则

1c60011）e??sin?sin300?，又0?e?1，所以e?[，。 2a22

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