数在对称区间上的定积分公式的推广(2)

平顶山工学院学报２００４年６月

则彤（枷ｘ＝覆一◆（ｃ刊ｄＸ

当／（ｆ—ｚ）为奇函数时，

／［ｃ一（一ｚ）］＝厂（ｃ．＋ｚ）＝一厂（ｃ—ａ ）

ｒ６

则

ｏ１．，’（ｚ）ｄｘ＝ｏ

ａ

综上所述：ｆ◆（ｄｄｘ：．｛２Ｊ。１。八ｃ—ｄ如√（ｃ’一ｚ）为偶函数证毕。【ｏ，：厂（ｃ一工．）为奇函数

这个结论把对称区间推广到了任意有限区间［ｎ．６］，利用公式（２）可以简化被积函数在ｃ点具有对称性的定积分的计算。

利用公式（２）计算定积分的步骤如下：

①找出区间中点：ｃ＝殳笋

②验证：厂（ｃ．一ｚ）关于ｚ为奇函数或为偶函数

③应用公式（２）求之。

３应用举例

例１：证明Ｃ厂（ｓｉｎｚ）ｄｘ＝２Ｃ厂（ｓｉｎｚ）ｄｘ

证一：Ｊ＇：／’（ｓｉｎｚ）ｄｘ＝ｊ＇；厂（ｓｉｎｚ）ｄｘ＋Ｊ＇：／’（ｓｉｎｚ）ｄｘ

ｒ”对积分ｌ。，（ｓｉｎｚ）ｄｘ作变量代换丈＝丌一‘ｋ

当ｘ＝号时，ｔ＝考；当ｘ＝兀时，ｔ＝ｏ

则胁№）出＝肼咖（丌刊（劬）］＿胁沛舢ｔ＝鼢ＳｉｌⅥ№

肌ｓｍ）出＝２鼽ｓｍ）如

证二：（利用公式（２）证之）

取ｆ＝詈（詈为［ｏ，丌］的中点）

又九ｓｉｎ（詈一ｚ）］＝厂（ｃｏｓｚ）为偶函数

． ．ｅ／（ｓｉｎｚ）如＝可；厂（ｃｏｓｚ）如：巧：厂（。ｉｎｚ）如

例２：计算ｒ＿鲁如（利用结论：ｊ：／’（ｃｏｓｚ）如：＝Ｊ：厂（ｓｉｘｚ）出，）

／．（…㈠’（号一）＝羔：焘为奇函数解：取ｃ＝吾，设／‘（ｚ）＝＿鲁ｄｒＪＯＪ十ｓｌｎ。工：

厶ｌ十Ｓｌｎ‘工’

ｚｌ＋ｓｉｎ５（詈一ｚ）ｌ＋ｃｏ—ｔ２ｌ。‘’。…‘则』：煮急出 ＝ｏ

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