高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧(3)

高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧

y

B1

x

（Ⅱ）设平面 A1 AD 的法向量为 n = ( x，y，z ) ．

AD = (11， 3) ， AA1 = (0， 0) ． ∵ n ⊥ AD ， n ⊥ AA1 ， ， 2，

ni AD = 0， x + y 3 z = 0， y = 0， ∴ ∴ ∴ 2 y = 0， x = 3 z． ni AA1 = 0， 令 z = 1 得 n = ( 3，1) 为平面 A1 AD 的一个法向量． 0， 由（Ⅰ）知 AB1 ⊥ 平面 A1BD ，

∴ AB1 为平面 A1 BD 的法向量．

cos < n ， AB >= ni AB1 = 3 3 = 6 ． 1 4 2i 2 2 n i AB1

∴ 二面角 A A1 D B 的大小为 arccos 6 ．

4

（Ⅲ）由（Ⅱ） AB1 为平面 A1BD 法向量， ，

∵ BC = (2， 0) AB1 = (1， 3) ． 0，， 2，

∴ 点 C 到平面 A1BD 的距离 d = BC i AB1 = 2 = 2 ．

AB1 2 2 2

小结：本例中（Ⅲ）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法， 小结 把不易直接求的 B 点到平面 AMB1 的距离转化为容易求的点 K 到平面 AMB1 的距离的计算 方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何 作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法. 例 2.( 2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4.

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。 状元源 http://www.77cn.com.cn/ 免注册、 免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

(Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD； (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角； (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离. 命题目的： 异面直线所成的角以及点到平面的距离基 命题目的 本题主要考查直线与平面的位置关系、 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力. 过程指引： 过程指引 方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离 和角； 方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一 般方法. 解答过程： 解答过程 方法一 （Ⅰ）取 AD 的中点，连结 PM，QM. 因为 P－ABCD 与 Q－ABCD 都是正四棱锥， 所以 AD⊥PM，AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM. 又 PQ 平面 PQM，所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB，所以 PQ⊥平面 ABCD. （Ⅱ）连结 AC、BD 设 AC ∩ BD = O ，由 PQ⊥平面 ABCD

Q A M D O B C P

及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上，从而 P、A、Q、C 四点共面.取 OC 的中点 N，连接 PN. 因为

PO 1 NO NO 1 PO NO = , = = ，所以 = ， OQ 2 OA OC 2 OQ OA

从而 AQ∥PN，∠BPN（或其补角）是异面直线 AQ 与 PB 所成的角. 因为 PB = OB + OP =

2 2

(2 2) 2 + 12 = 3 ， PN = ON 2 + OP 2 = ( 2) 2 + 1 = 3.

2

BN = OB 2 ON 2 = ( 2 2 ) + ( 2 ) 2 = 10

所以 cos ∠BPN＝

PB 2＋PN 2 BN 2 9 + 3 10 3 = = . 2 PB PN 9 2× 3× 3

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库高考数学专题：立体几何新题型的解题技巧(3)在线全文阅读。