简谐运动周期公式的间接推导-2019年精选文档

简谐运动周期公式的间接推导

振动是物体运动的基本形式之一，它在自然界中广泛存在。钟摆的摆动、水中浮标的上下浮动、担物行走时扁担下物体的颤动、树梢在微风中的摇摆等等都是振动。在物理学中，对于一个复杂的运动可以看成是由若干个简单运动合成的，这些简单的运动是一些最基本的运动，掌握了这些基本运动的规律，其合运动规律就清楚了，这是物理学的一种研究方法。同样的，我们在研究各种各样的机械振动前，首先要研究最简单、最基本的一种机械振动――简谐运动。简谐运动不但是一种周期性的运动，而且是一种变加速度的直线运动，因此，它的运动规律比较复杂。由于中学生缺少必要的数学知识，研究简谐运动的规律就成为一个较为困难的问题。

根据高中教材对简谐运动的描述，我们可以作出这样的判断：从运动学特征的角度看，物体对平衡位置的位移随时间作余弦 (或正弦)变化的运动叫作简谐运动，即

x=Acos(ω•t+φ0)。式中A是振幅，ω为角频率，t为时间，φ0称作初相位或初相。从受力特征的角度看，物体在线性回复力作用下的运动叫做简谐运动，即线性回复力F=-kx。式中k为比例系数（常数），x为以平衡位置为原点时物体的位移。有鉴于此，现以简谐运动的运动学特征和受力特征为基础，从三个不同的角度初步探讨简谐运动的周期公式。

1 根据最大加速度来推导周期公式

如图1所示，一质量为m的质点在xy平面内以原点O为圆心做匀速圆周运动，该质点在x轴上的投影将以O为中心在x轴上振动，这个振动有什么特点呢？设t=0时，半径跟x轴方向的夹角为φ0，经时间t，半径跟x轴方向夹角为θ，则θ=ω•t+φ0。在任意时刻t，质点在x轴上的位移为x=r•cos(ω•t+φ0)，显然该质点在x轴上的投影（M点）是以O点为中心的简谐运动。实验也可以证明，一个以原点O为圆心作匀速圆周运动的质点m，它在x轴或y轴 上的投影是作简谐运动。

这个事实告诉我们：匀速圆周运动与简谐运动在运动学上有着深刻的内在联系。因此，它提供了利用匀速圆周运动的知识来研究简谐运动的依据，即任何一个简谐运动必然存在一个与之相对应的匀速圆周运动，这个匀速圆周运动的圆周叫做与之相对应的简谐运动的参考圆。参考圆的各量与简谐运动的物理量有如下的一些对应关系：(1)参考圆的圆心为简谐运动的平衡位置；(2)参考圆的半径为简谐运动的振幅A；(3)参考点m作匀速圆周运动的周期或频率和其投影点M作简谐运动的周期或频率是相同的。

利用参考圆可以很方便地找到简谐运动的最大加速度。设圆半径为r，角速度为ω，则匀速圆周运动质点向心加速度的大小为ω2r，其在x轴上射影加速度的大小为

a=ω2rcos(ω•t+φ0)，质点在x轴上投影所作简谐运动的加速度最大为ω2r。又由线性回复力的特征F=-kx和牛顿第二定律可得：简谐运动加速度的大小为a=kx/m，简谐运动加速度的最大值为kA/m。考虑到参考圆的半径r等于简谐运动的振幅A，参考点m作匀速圆周运动的周期和其投影点M作简谐运动的周期是相同的。故：ω2=k/m，即有T=2πm/k。

由此可知，简谐运动的周期与它们的振幅无关，而仅取决于振动系统两个方面的性质：一是系统所受线性回复力的比例系数k，二是系统的惯性质量m。为了强调T是由系统性质所决定的，故称T为系统的固有周期。

2 根据最大速度来推导周期公式

“应用数学处理物理问题的能力”是物理高考考试大纲中对考生的五种能力要求之一，它要求考生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能够运用函数进行表达和分析。导数作为高中数学中增加的内容已在新教材中出现了两年，而导数在高中物理中也有广泛的运用，如高中物理中运用“微元法”就是千方百计绕过“导数”求解有关物理问题的典型例子。高中物理教学中导数的引入，使学生对一些物理知识有了更加深刻的理解。 现根据简谐运动的运动学方程x=Asin(ωt+φ)将位移对时间求一次导数dx/dt，从而求得：v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)，即简谐运动的速度变化规律为v=vmcos(ωt+φ)。显然，简谐运动

的最大速度为vm，并且满足vm=Aω。对于简谐运动的速度变化规律，我们也可以采用这样的观点研究：在时间间隔Δt比较小的情况下，平均速度能比较精确地描述物体运动的快慢程度，Δt越小，描述越精确。因此当Δt很小时，就可以认为Δx/Δt是物体在时刻t的瞬时速度。即v=ΔxΔt，取t2-t1=Δt，并利用正弦函数sinx=x(x极小时)和三角函数和差化积可知： v=Asin(ωt2+φ )-Asin(ωt1+φ)t2-t1

=2Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)sin(ωt2/2-ωt1/2)Δt =ω(t2-t1)Acos(ωt2/2+ωt1/2+φ)Δt =Aωcos(ωt+φ)。

即有v=vmcos(ωt+φ),简谐运动的最大速度为vm，并且满足vm=Aω。

以水平放置的弹簧振子为例，理论上可以证明：在弹簧振子振动的过程中，如果摩擦阻力造成的损耗可以忽略，则在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和是定值，这与机械能守恒定律是相一致的。在振动的过程中，弹簧的弹性势能：Ep=12kx2,

振子的动能：Ek=12mv2, 由机械能守恒可知：

机械能既等于最大弹性势能： E=12kA2，

也等于最大动能：E=12mvm2，代入有：

12mvm2=12kA2。

而物体的动能和物体的运动速率又有定量的联系，如果将这两部分知识组合起来，就有： 12kA2=12mvm2=12mA2ω2， 化简得：T=2πω=2πmk。

此即为弹簧振子简谐运动周期的表达式。显然，弹簧振子的周期由弹簧的劲度系数和振子的质量所决定，与振幅的大小无关，T为弹簧振子的固有周期。

以同样的方式处理单摆。当单摆从最高点摆到最低位置的过程中，重力势能转化为动能。由机械能守恒可知： 最大动能：Ek=12mv2=mgl(1-cosα), 其中α为摆球摆动的最大角度。 利用三角形余弦定理，有： cosα=2l2-A22l2，代入可得：

mgl（1-cosα)=mgl（1-2l2-A22l2）=mgA22l， 即单摆摆动时的最大动能为： Ek=12mvm2=mgA22l。 代人最大速率vm=Aω， 有：mgA22l=12mA2ω2。

化简即得：T=2πω=2πlg（摆角较小时，单摆的运动才为简谐振动，才有vm=Aω），此即为单摆简谐运动的周期表达式。显然，单摆做简谐运动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力

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