作业实验5

实验5.1 复化求积公式计算定积分

(1) 用复化梯形公式、复化辛普森公式利用复化高斯-勒让德公式计算，误差限在1/2e-7，计算各个方法的应用步长。

以第一题为例 输入

n1=trapen(f,a,b,wucha) n2=simpn(f,a,b,wucha) n3=Gausslegn(f,a,b,wucha);

%%n1为复化梯形公式需要的步长 %%n2为复化辛普森公式需要的步长 %%n3为复化高斯勒让德公式需要的步长。 输出 n1=9310 n2=85 n3=29

(2) 分别用复化梯形公式、复化辛普森公式利用复化高斯-勒让德公式计算 输入

Tn=trape(f,a,b,n1) Sn=simp(f,a,b,n2) Gn=Gaussleg(f,a,b,n3)

输出

Tn=0.693147187950964 Sn=0.693147183740232 Gn超出计算机运算范围

(3) 将计算结果与精确解比较，并比较各种算法的计算量 输入

T1=log(2)-Tn S1=log(2)-Sn

输出

T1=-7.3910e-09 S1=-3.1803e-09

梯形公式计算时间为5.931496s 辛普森公式计算时间为0.470143s

同理可得其他三题的步长估计、积分计算值和计算量 整理计算结果得表如下：

步长统计

题1 题2 题3 题4 复化梯形 复化辛普森 复化高斯勒让德 9310 85 29 3652 31 6 2457 14 4 7019 25 3

积分值统计

题1

题2 题3 题4

复化梯形 0.6931472 3.1415926 1.8204785 7.3890561 复化辛普森 复化高斯勒让德 0.69314718 /

3.14159265 3.141592611 1.82047848 1.820476929 7.38905612 7.389056075

误差统计

题1 题2 题3 题4

复化梯形 复化辛普森 复化高斯勒让德 7.39E-09 3.18E-09 / 1.25E-08 6.99E-13 4.24E-08 3.03E-08 2.40E-08 2.08E-09 2.83E-08 2.32E-08 2.41E-08

计算时间统计

题1

题2 题3 题4

复化梯形 复化辛普森 复化高斯勒让德 6.282908 0.486899 / 2.700042 0.409373 3.80687 1.669903 0.344021 1.169105 4.580032 0.395017 1.532567

实验5.2 自动变步长辛普森方法和自适应辛普森方法

1.用复化辛普森公式、自动变步长辛普森公式和自适应辛普森公式计算，要求绝对误差限为1/2e-7，输出每种方法所需节点数和积分近似值，对于自适应辛普森算法显示实际节点上离散函数值的分布。 第一题 (1)复化辛普森

输入

tol=0.5e-7; a=0; b=2; M=2; syms x;

y=x^6*0.1-x^2+x; n=simpn(y,a,b,tol); Sn=simp(y,a,b,n) n=n+1

输出 n=81;

Sn=1.161904774925233 (2)自动变步长辛普森 输入

[S2n n1]=autosimpson(y,a,b,tol,M); n1=n1+1 S2n

输出 n1=3

S2n= 1.163964843750000 (3)自适应辛普森算法 输入

f=inline(subs(y));

Q = autoadptsimp(f,a,b,tol) global X K; X=unique(sort(X)); Y=f(X'); n2=length(X) plot(X,Y,'.')

输出 n2=77

Q=1.161904766099253

同理第二题可得

复化辛普森节点数inf 积分值

自动变步长辛普森节点数3 积分值0.400077249447332 自适应辛普森公式节点数132 积分值0.400000069448683

第三题为

复化辛普森节点数5918 积分值40.249223595110429 自动变步长辛普森节点数3 积分值43.162234399784438

自适应辛普森公式节点数201 积分值40.249223598735504 节点上离散函数分布图

（2）根据计算结果分析比较

从上面的计算可以看出，自动变步长辛普森算法用（S2n-Sn）/15作为误差值的判定方法其误差还是较大的，故不太准确。相比而言，复化辛普森公式和自适应式辛普森公式都能够达到很好精度的效果。在题二中我们发现matlab提示n的范围过大，而自适应方法则未出现这种情况，说明自适应方法对于计算空间的节省的效果还是值得肯定的，这是因为自适应方法能够根据函数的变化情况自动选取步长，故在函数不同区间其步长也是在变化的。考虑在运行程序时其计算时间自适应方法比简单的复化辛普森公式用时短，比自动变步长用时长。故在即要求精度又要求效率的情况下，推荐采用自适应方法。

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