2012《复变函数论》试题库

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2012《复变函数论》试题库

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若 f( z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.

( )

10.若 函数f( z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f( z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

dz?______________.（n为自然数） n1、 ?|z?z0|?1(z?z)022sinz?cosz? ____________. 2.

3.函数sinz的周期为______________.

f(z)?4.设

?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有_____________.

n5.幂级数

?nzn?0的收敛半径为_____________.

6.若 函数f( z)在整个平面上处处解析，则称它是_____________.

z1?z2?...?zn?limzn??n??n??n7.若 ，则__________________.

lim 1

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ezRes(n,0)?z8.__________，其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为__________ .

zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若 0是.

三.计算题（40分）：

f(z)?1. 设

1(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

四. 证明题.( 20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

2

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《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u( x,y)与v( x,y)都在D内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若 函数f( z)在z0解析，则f( z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f( z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z06. 若 函数f( z)在z0可导，则f( z)在z0解析. ( ) 7. 若 f( z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

8. 若 数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若 f( z)在区域D内解析，则|f( z)|也在D内解析. ( )

11110. 存在一个在零点解析的函数f( z)使f()?0且f()?,n?1,2,....

n?12n2n( )

二. 填空题. ( 20分)

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?__________.

3.

dz?|z?z0|?1(z?z0)n?____________.（n为自然数）

?n?04. 幂级数?nzn的收敛半径为_____________ .

5. 若 z0是f( z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的______零点. 6. 函数ez的周期为_____________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为__________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有____________. 1?z29. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为__________.

3

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z?110. Res(,1)?____. 4z三. 计算题. ( 40分)

31. 求函数sin(2z)的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.

3. 计算积分：I??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

?ii的右半圆.

?4. 求

sinzz?2(z?)22?dz.

四. 证明题. ( 20分)

1. 设函数f( z)在区域D内解析，试证：f( z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

4

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《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. ( 20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( )

2. 若 f( z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f( z)在z0解析. ( )

3. 若 函数f( z)在z0处解析，则f( z)在z0连续. ( )

}与{Imzn}都收敛. 4. 若 数列{zn}收敛，则{Rzne( )

5. 若 函数f( z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f( z)在区域D内为常数. ( )

6. 若 函数f( z)在z0解析，则f( z)在z0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f( z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1). （ ）8. 若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

9. 若 z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若

z0是

f(z)的可去奇点，则

Res(f(z),z0)?0.

( )

二. 填空题. ( 20分)

11. 设f(z)?2，则f( z)的定义域为______________.

z?1z2. 函数e的周期为____________.

n?213. 若 zn??i(1?)n，则limzn?_____________.

n??1?nn4. sin2z?cos2z?______________.

dz?____________.（n为自然数） n5. ?|z?z0|?1(z?z0)6. 幂级数?nxn的收敛半径为_____________.

n?0? 5

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