中国海洋大学线代试题2007-2008 1 B试题及答案

优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 中国海洋大学 2007-2008学年 第1学期 期末考试试卷

数学科学学院《线性代数》课程试题(B卷) 共 3页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 文具(或本课程为开卷考试，可携带 文具)，满分为： 100分。 题号 得分 一 二 三 四 五 六 总分 ----------------装----------------订----------------线---------------- 一、 填空 （每空4分，共20分） a1a?aaa1?a?????a??a?a?,若矩阵A 的秩为n?1，则a必?a??1??1??a1.A??a?????a为 . 2.设n阶矩阵A非奇异（n?2），A?是矩阵A的伴随矩阵，则(A?)?? . ?a1?3. 有3阶方阵A??a2?a?3c1c2c3d1??b1??d2?，B??b2?bd3??3?c1c2c3d1??1d2? 且A?2,B?, 2d3??则 A?B? . 4.设?是n阶矩阵A的特征值，则r(?I?A) . 5.若A?12，A?是3阶矩阵A的伴随矩阵，则(3A)?1?2A?? . 二、 选择题 （每题5分，共40分） 1.已知A,B,C是n阶方阵，满足等式B?E?AB,C?A?CA，则B?C为( ) (A)E (B) ?E (C)A (D)?A （E为n阶单位阵） 授课教师命题教师或命题负责人签字

线性代数命题组

2007年12月10日

院系负责人签

字

年 月 日

共 3页 2页

号 X X 业师 X X 专教 号X选名课号 X X 优年级 XXX 学 姓 授 座 师 教 X 名课号 XX X 优选专业年级 学 姓 授 座 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷 数学科学学院《线性代数》课程试题(B卷) 共 3 页 第 3 页 acc?8. A 是n?阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量?是A的属于特征??2.设A??cac?，若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( ). 值?的特征向量，则矩阵(P?1AP)T属于特征值?的特征向量是（ ） ?cca???12Tc?0?1a?2c?0T (B) a??(A)或a ?a（?Dc（A）（B））(P)?. P? （C） P? Pc或? (C) a?c或a?2c?0 (D) a?c或a?2c?0 3.已知向量组 （ ） ?,1,??,??3,?4线性无关，则向量组三、若?1??2线性无关， ???4,?4??5,?5??3,?3221(A)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 线性无关 则?1,?2,?3,?4,?5 线性无关. (10分) (B)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 线性无关 11??a???1A?1a?1四、设实对称矩阵，求可逆矩阵，使PPAP为对角形矩阵， (C) ?1??2,?2??3,? 线性无关 ?3??4,?4???1?1?1a???(D) ?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 线性无关 并计算行列式A?E的值.(10分) 4. 设n阶方阵A的伴随矩阵A??0,若?1,?2,?3,?4是非齐次线性方程组AX?b222?(10?的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系( ). x1?a)x2?2(1?a)x1x2?2x3， 五、（10分）设二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)AX-----装-----订-----线装订线---------------------------------------------------------------------------------------装---订---线--- ----- (A)不存在， (B)仅含一个非零解向量 (C)含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量 的秩为2. ,?2a,? 5.设（ ?1）求的值；3维列向量，记A???1,?2,?3?,B?(?1??2??3, 13均为 2）利用正交变换法将二次型f.化为标准型，并写出正交矩阵Q?（?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)如果A?1，那么B?（ ） . 1?x1?x2?x3?0????E6.设三阶方阵，其中为三阶单位矩阵,是A的伴随A,B满足ABA?2BA?EAx?2x?x?a?1六、（10分）设线性方程组与有公共解，x?2x?ax?0?112323?2x?4x?ax3?012??210???a求的值及所有公共解. A?120矩阵,??，则B?( ). ???001?（A）3 （B）2 (C) 4 (D) 1 (A)19 (B)9 (C) 13 (D) 3 7. A,B都是n阶非零矩阵，且 AB?0，则A,B的秩（ ） （A）必有一个为零（B）都小于n （C）一个小于n，一个等于n（D）都等于n 中国海洋大学 2007-2008学年 第1学期 期末考试试卷

数学科学学院《线性代数》课程试题(B卷)

一、填空 （每空4分，共20分） 1、

二、选择题 （每题5分，共40分）

1、(A ) 2、( C ) 3、（C ） 4、( B ) 5、（ B ） 6、( A ). 7、（ B ）8、（ B ）

三、证：反证法 假设?1,?2,?3,?4,?5线性相关，存在不全为零的数k1,k2,k3,k4,k5使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?k5?5?0成立

不妨设k1?0 所以?1可由?2,?3,?4,?5线性表示，

从而?1??2,?2??3,?3??4,?4??5,?5??1可由?2,?3,?4,?5 线性表示，且5?4，所以?1??2,?2??3,?3??4,?4??5,?5??1 线性相关与条件矛盾，因此，?1,?2,?3,?4,?5 线性无关

四、解：A的特征多项式?I?A?(??a?1)(??a?2)

21n?1 2、(A?)??An?2A 3、10 4、r(?I?A)?n 5、16/27 所以，?1??2?a?1,?3?a?2.

当?1??2?a?1.时可得特征向量，X1?(1,1,0)T,X2?(1,0,1)T 当?3?a?2.时可得特征向量为X3?(?1,1,1)T.

?1?P??X1,X2,X3???1?0?101?1??1?1??令，

?a?1??1PAP????0?0?20a?10??0? a?2??0A?E?a(a?3).

?1?a?五、解：（1）因为二次型f秩为2，对应的矩阵A??1?a?0?1?a1?a00??0?得秩为2，2??所以有

1?a1?a2?1?1?a??8a?0 得a?0.（2）当a?0时 A??11?a?0?21100??0?，2???E?A?(??2)?得A的特征值为?1??2?2,?3?0.?1??2?2,所对应的

特征向量X1?(1,1,0)T,X2?(0,0,1)T?3?0的特征向量是X3?(?1,1,0)T。有因为上面三个向量俩俩正交，单位化得

Y1?(12,12,0),Y2?(0,0,1),Y3?TT12(?1,1,0)T，

?1/2?Q??1/2??0?001?1/2??221/2?，标准型f?2y1?2y2

??0??x2?x3?0?2x2?ax3?0?4x2?ax3?0?2x2?x3?a?12?x1??x1六、解：因为求方程组和方程的公共解，联立方程组??x1?x1的解

?1??1 有增广矩阵(A,b)??1??1?12421aa210??1??0??0??00?????0a?1??010010a?10??a?1??B ?1?a?(a?1)(a?2)??1?a当(a?1)(a?2)?0时，即a?1或a?2. ?1??0当a?1时B??0??0?010010000??0?T，因此有公共解为，可为任意常数 X?k(?1,0,1)0??0????1当a?2时B??0??0??0

000?101??01?1?，有公共解为X?k(0,1,?1)T。 ?000??

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