浅谈对行列式，矩阵及线性相关性的理解

浅谈对行列式，矩阵及线性相关性的理解

［摘要］行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了，

所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。 矩阵是线性代数课程中的最重要的一章之一，学好矩阵，对我们学习线性代数有着关键性的作用，故在此我也对矩阵这一章做出归纳总结。

线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，特别是被表示向量组的线性相关性与被表示向量组中向量的个数以及表示向量组中向量的个数之间的关系的有关结论，对我们来说是很难理解的，故我把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”，这样在学习上可收到较好的效果。

［关键词］行列式性质，展开法则，初等矩阵，初等变换，线性相关，线性无关，多余，没有多余。 [正文] 1.行列式 1.1、行列式定义

举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。

那么这n*n个数字是按照什么规则进行运算的呢？

行列式是不同行、不同列的所有可能元素乘积的代数和（共有n!项）。（这里面的代数和，表示每个乘积项是带有正负号的，而正负号的确定要根据行列标的逆序数来判断！）

对于行列式的这个概念，仅仅是给出了行列式的一种通用定义，它能用来求特殊行列式（比如三角行列式、对角行列式等）的值和做一些证明，而真正要来求行列式的值，需要依据行列式的性质和展开法则。 1.2、行列式性质

行列式的那几条性质其实也很容易记忆。

1、行列式转置值不变。这条性质说明行列式行、列等价，凡是对行成立的，对列也成立。

2、互换两行（列），行列式变号。 3、两行（列）相等，则行列式为0。

4、数乘行列式等于该数与行列式某一行（列）所有元素相乘！ 5、两行（列）成比例，则行列式为0。

6、行列式加法运算：某一行（列）每个元素都可以看成两项的和的话，可以将行列式展开成两个同阶行列式的和。

7、某行（列）同乘一个数加到另外一行（列）上，行列式值不变。 这7条性质往往组合使用来求行列式的值。尤其第7条性质，一定要会熟练运用来将一个行列式化为三角行列式（既要会对行使用，也要会对列使用），最好能自己多做点练习。

1.3、行列式行（列）展开法则

行列式的行（列）展开法则其实是一种降阶求行列式值的方法。

行列式的行（列）展开法则一定注意一点，即一定是某行（列）每个元素同乘以自己对应的代数余子式。

如果是某行（列）每个元素同乘以另外一行（列）对应位置的代数余子式则值为零。 2、矩阵 2.1、初等变换

初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的。初等变换有三类： 1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；

2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；

3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k，然后加到另外一行（列）上。

2.2、初等矩阵

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵。 则根据三类初等变换，可以得到三种不同的初等矩阵。 1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；

2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；

3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上。 其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得。

初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵，然后进行初等变换来加深一下印象。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么？

当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候，我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B，而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化。具体来说： 2.3、左乘及右乘 左乘的情况：

1、E(i,j)A=B，则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B； 2、E(i(k))A=B，则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B； 3、E(ij(k))A=B，则矩阵A的第i行元素乘以数k，然后加到第j行上而得到矩阵B。

结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换。

右乘的情况：

4、AE(i,j)=B，则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B； 5、AE(i(k))=B，则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B； 6、AE(ij(k))=B，则矩阵A的第i列元素乘以数k，然后加到第j列上而得到矩阵B。

结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A，相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换。

初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来，我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换。

若某初等矩阵左（右）乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，我们想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

3、线性相关性

线性相关性在线性代数课程中是一个重要内容，对我们学生来说是非常困难的内容，许多同学学完线性代数后还没有弄懂，有的同学学到这一内容时觉得很难学，就丧失信心。认为整个线性代数都很难学，甚至放弃学习。线性相关性是线性代数课程中教学的难点，它与后面线性方程组的解的理论有密切的联系，对于这一难点的处理是非常重要的。大多数经济类的本科线性代数课程的教材在叙述向量组的极大无关组和向量组的秩的理论时,由于这一章节的理论性比较强，一般都是从定理到定理,从证明到证明,例子较少。我们在学习完线性相关的定义和有关定理后，在学习向量的极大无关组之前，用”多余”来解释线性相关性,可使后面的问题简单化,直观化。下面我们以龚德恩等主编的《经济数学基础》的第二分册线性代数的教材为例进行说明。 首先来看线性组合的概念。

对于向量组α1,α2,?,αs和向量β,如果存在s个数k1,k2,?,ks使得 β=k1α1+k2α2+?+ksαs则称向量β是向量组α1,α2,?,αs的线性组合。换句话说向量β相对于向量组α1,α2,?,αs是“多余”的向量。关于线性相关概念,对于向量组α1,α2,?,αs,如果存在不全为零的数k1,k2,?,ks使得 k1α1+k2α2+?+ksαs=0，称向量组α1,α2,?,αs线性相关。因k1,k2,?,ks不全为零,不妨假设α1≠0则α1=-k2k1α2-?-ksk1αs。因此α1,α2,?,αs线性相关,看成是向量组α1,α2,?,αs中至少有一个“多余”的向量。关于线性无关概念,对于向量组α1,α2,?,αs,如果仅当k1,k2,?,ks都等于零时,才能使得k1α1+k2α2+?+ksαs=0成立。称向量组α1,α2,?,αs线性无关。由于α1,α2,?,αs线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组α1,α2,?,αs线性无关看成是α1,α2,?,αs中“没有多余”的向量。一些结论也可作相应的理解和解释。如:“如果一个向量组中的部分组线性相关,则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。下面两个定理是大多数同学在学习向量组的线性相关性的过程中感到最难理解和掌握的。 定理1：

设向量组（Ⅰ）α1,α2,?,αs可由向量组（Ⅱ）β1,β2,?,βt线性表示，且s＞t，则α1,α2,?,αs线性相关。在课堂教学中我们是作如下解释的，向量组（Ⅰ）α1,α2,?,αs称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）

β1,β2,?,βt称为“表示向量组”。条件s＞t，看成是有”多余”的向量。即“被表示向量组（Ⅰ）α1,α2,?,αs相对于表示向量组（Ⅱ）β1,β2,?,βt有多余的向量，则α1,α2,?,αs线性相关,这样解释更便于同学们理解和记

忆。 推论1：

如果一个向量组α1,α2,?,αs线性无关，并且可由向量组

β1,β2,?,βt线性表示。则s≤t。推论1可解释为：如果“被表示向量组α1,α2,?,αs线性无关，则被表示的向量组α1,α2,?,αs相对于表示向量组β1,β2,?,βt没有多余的向量，即s≤t。 推论2：

两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。 下面再举一些例子进行说明。 例1：

设向量组α1,α2,?,αs线性无关,且可由向量组β1,β2,?,βt线性 表示,则必有Ａ.t≤sＢ.t≥sＣ.t＜sＤ.t＞s。

分析：被表示向量组α1,α2,?,αs线性无关，则被表示向量组α1,α

?,αs相对于表示向量组β1,β2,?,βt来说，没有多余的向量，因此有t≥ s，故选择Ｂ。 例2：

设向量组（Ⅰ）α1,α2,?,αs；向量组（Ⅱ）β1,β2,?,βt的秩分别为r1和r2，若（Ⅰ）中每一个向量均可由（Ⅱ）线性表示，则r1与r2的关系为。解应填“r1≤r2”其理由是:

设向量组（Ⅰ）α1,α2,?,αs的极大无关组为αi1,?,αir2，向量组（Ⅱ）β1，β2,?,βt的极大无关组为βj1,?,βjr2。则αi1,?,αir2可由βj1,?,βjr2线性表示，因αi1,?,αir2线性无关,被表示向量组

αi1,?,αir2相对于表示向量组βj1,?,βjr2没有多余的向量，则r1≤r2。例3：

设向量组α,β,γ线性无关，向量组α,β,δ线性相关，则（）。A.α必可由β,γ,δB.β必不可由α,β,δC.δ必可由线性表示D.δ必不可由α,β,γ线性表示。 解：选C。

这是因为α,β,γ线性无关，则α,β线性无关。而α,β,δ线性相关，故δ可由α,β线性表示，从而δ可由α,β,γ线性表示。 例4：

已知向量组（Ⅰ）α1,α2,α3;向量组（Ⅱ）α1,α2,α3,α4;向量组（Ⅲ）α1,α2,α3,α5;如果向量组的秩分别为（rⅠ）=（rⅡ）=3,（rⅢ）=4。证明向量组α1,α2,α3,α4-α5的秩为4。 分析:

由条件向量组（Ⅰ）α1,α2,α3没有多余的向量（,Ⅱ）向量组α1，α2,α3,α4有多余的向量α4,得向量α4可由向量组α1,α2,α3线性表示向量组（,Ⅲ）α1,α2,α3,α5没有多余的向量，得α5不能由α1,α2,α3线性表示，从而α4-α5不能由α1,α2,α3线性表示，所以α1,α2,α3,α4-α5没有多余的向量。证明由于r(α1,α2,α3)=3,即向量组α1,α2,α3线性无关,又因r(α1,α2,αα4)=3,即向量组α1,α2,α3,α4线性相关,故存在

t1,t2,t3使得α4=t1α1+t2α2+t3α3。又如果向量组α1,α2,α3,α4-α5

线性相关,且r(α1,α2,α3)=3,则存在k1,k2，k3使

得,α4-α5=k1α1+k2α2+k3α3所以α5=(t1-k1)α1+(t2-k2)α2+(t3-k3)α3这与r(α1,α2,α3,α5)=4矛盾,故向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关,则r(α1,α2,α3,α4-α5)=4。

参考文献：

[1] 线性代数/刘二根，谢霖铨主编.—南昌:江西高校出版社，2010.18. ［2］龚德恩等.经济数学基础（第二分册线性代数）（最新修订本）［M］.四川人民出版社，2000年.

［3］刘庆华,韩云瑞.提高数学教学课堂效果的几点思考［J］.大学数 学，2005，21（5）.

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