随机信号分析常建平李林海课后习题答案第三章 习题讲解

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求

（1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1） E?X(t)??E?A??E??cos?t?B????2

A与B相互独立11RX?t,t????EA?cos??5?cos?22212??（2） E?X?t???52??

?X?t?是平稳过程

1X(t)?limT??2T??TX?t?dt?AT3-1 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为

GX(?)?32，求：①该过程的平均功率？ 2(??16)②?取值在(?4,4)范围内的平均功率？

解

2(1)：P?E?X??t????12?????GX???d?方法一(时域法)?2?4??4?R(?)?F?1?GX(?)??4?F?1?2?4?e2?4????P1?R(0)?4方法二(频域法)1?1P1?G(?)d??X2????2?4?1???d?42??????41????4?1'arctanx???1?x232???42??2d??(2)?取值范围为?-4,4?内的平均功率P2?

12?32??442??2d?4

?23-7如图3.10所示，系统的输入X(t)为平稳过程，系统的输出为Y(t)?X(t)?X(t?T)。证明：输出Y(t)的功率谱密度为GY(?)?2GX(?)(1?cos?T)

解:已知平稳过程的表达式

?利用定义求RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?GY(?)?F?RY(?)?RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?E?{X(t)?X(t?T)}{X(t??)?X(t???T}??2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)系统输入输出平稳GX(?)?RX(?)GY(?)?RY(?)

利用傅立叶变换的延时特性?GY(?)?2GX(?)?GX(?)e?j?T?GX(?)ej?T?ej?T?e?j?T??2GX(?)?2GX(?)??2???2GX(?)(1?cos?T)3-9 已知平稳过程X(t)和Y(t)相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为

16 GX(?)?2??16

GY(?)??2?2?16

令新的随机过程

?Z(t)?X(t)?Y(t)? ?V(t)?X(t)?Y(t)①证明X(t)和Y(t)联合平稳； ②求Z(t)的功率谱密度GZ(?)？ ③求X(t)和Y(t)的互谱密度GXY(?)？ ④求X(t)和Z(t)的互相关函数RXZ(?)？ ⑤求V(t)和Z(t)的互相关函数RVZ(?) 解:

(1)X(t)、Y(t)都平稳RX(?)＝F?1??GX??????2eRY(?)??????2e?4??4?E2[X(t)]?RX(?)?0?E[X(t)]?0?E[Y(t)]?0?X(t)与Y(t)联合平稳X(t)与Y(t)独立?RXY(t,t??)?E[X(t)]?E[Y(t??)]?0(2)Z(t)?X(t)?Y(t)RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E?[X(t)?Y(t)][X(t??)?Y(t??)]??RX(?)?RYX(?)?RXY(?)?RY(?)RXY(?)?0?RZ(?)?RX(?)?RY(?)?2?16?GZ(?)?GX(?)?GY(?)?2?1??16(3)RXY(?)?0?GXY(?)?0(4)RXZ(?)?E[X(t)Z(t??)]?E?X(t)?X(t??)?Y(t??)???RX(?)?RXY(?)(5)RVZ(?)?E[V(t)Z(t??)]?E?[X(t)?Y(t)][X(t??)?Y(t??)]??RX(?)?RY(?)???(?)?4e?4|?|?RX(?)?F?1[GX(?)]?2e?4|?|3-11 已知可微平稳过程X(t)的自相关函数为

RX(?)?2exp[??2]，其导数为Y(t)?X?(t)。求互谱密

度GXY(?)和功率谱密度GY(?)？ Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理

GX???FF?1RX(?)

Ⅱ.2-17 已知平稳过程X(t)的均方可导，Y(t)?X?(t)。证明

X(t),Y(t)的互相关函数和Y(t)的自相关函数分别为

dR(?)RXY(?)?Xd?d2RX(?)RY(?)??d2?Ⅲ.傅立叶变换的微分性质

解:GX(?)?F[RX(?)]?F[2e?]?2??e4?222??高斯脉冲e?t???????2???e????????2??t2???2?2?P279表第28个exp??2???2?exp???2?2????利用傅立叶变换的微分特性?(?)RXY(?)?RX??(?)RY(?)??RXGXY(?)?j?GX(?)?2?j??e42??GY(?)??(j?)2GX(?)＝2??2?e42??

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