2014届高三数学一轮复习（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用

一、选择题

1．(2012·浙江)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )

A.

B.

C.

1

D.

解析：把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

?1?可得函数y＝cos2?x?＋1＝cosx＋1的图像；然后向左平移1个单位长度得到函数y＝cos(x?2?

＋1)＋1的图像；再向下平移1个单位长度得到函数y＝cos(x＋1)＋1－1＝cos(x＋1)的图像；结合各选项中的图像可知其图像为选项A中的图像，故应选A.

答案：A

π??2．(2013·信阳调研)先将函数f(x)＝2sin?2x－?的周期变为原来的2倍，再将所得6??π

函数的图像向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为( )

6

A．f(x)＝2sinx C．f(x)＝2sin4x

?π?B．f(x)＝2sin?x－?

3??

π??D．f(x)＝2sin?4x－? 3??

π???π?解析：f(x)＝2sin?2x－?的周期变为原来的2倍，得到f(x)＝2sin?x－?，再向右

6?6???π?π?平移个单位，得到f(x)＝2sin?x－?.

3?6?

答案：B

π?3?3．(2013·潍坊三县检测)已知简谐振动f(x)＝Asin(ωx＋φ)?|φ|＜?的振幅为，

2?2?

?3?图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点?0，?，则该简谐振动的频率与初相分

?4?

别为( )

1πA.， 66C.

ππ， 46

1πB.， 861πD.， 63

2

3

解析：由题意知A＝，∵图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，∴

2

?T?2＋32＝?2???

1πππ?3?5，解得T＝8，∴f＝，ω＝，由图像过点?0，?且|φ|＜，得φ＝，故选B. 8426?4?

答案：B

4．(2013·蚌埠质检)以下关于函数f(x)＝sin2x－cos2x的命题，正确的是( )

?2?A．函数f(x)在区间?0，π?上单调递增 ?3?

π

B．直线x＝是函数y＝f(x)图像的一条对称轴

8

?π?C．点?，0?是函数y＝f(x)图像的一个对称中心 ?4?

π

D．将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，可得到y＝2sin2x的图像

8

π?π?解析：f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin?2x－?，将f(x)的图像向左平移个单位为y＝4?8?2sin2x，故选D. 答案：D

?π?5．(2013·眉山诊断)若把函数y＝2cos?x＋?＋1的图像向右平移m(m＞0)个单位长3???π?度，使点?，1?为其对称中心，则m的最小值是( )

?3?

A.

πππ

B. C. D．π 263

?π??π?解析：y＝2cos?x＋?＋1的图像向右平移m(m＞0)个单位长度得到y＝2cos?x＋－m?3?3???

ππππ?π?＋1，∵?，1?为其对称中心，∴＋－m＝kπ＋，k∈Z，∴m的最小值是. 3326?3?

答案：B

6．(2013·西工大附中训练)如图所示，为了得到g(x)＝sin2x的图像，则只需将f(x)的图像( )

3

π

A．向右平移个长度单位

6π

B．向右平移个长度单位

3π

C．向左平移个长度单位

6π

D．向左平移个长度单位

3

T7πππ2π?7π，－1?解析：由图像可知A＝1，又＝－＝，∴T＝π，从而ω＝＝2，将??41234T?12?

代入f(x)＝sin(2x＋φ)中，得sin?

π??∴f(x)＝sin?2x＋?.

3??

π

将f(x)图像右移个长度单位即可得到g(x)＝sin2x的图像．

6答案：A 二、填空题

π?π?7．若将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到的图像关于点?，0?对4?3?称，则|φ|的最小值是______．

π??π??解析：将函数y＝2sin(3x＋φ)的图像向右平移个单位后得到2sin?3?x－?＋φ?＝

4?4???3π??2sin?3x－＋φ?的图像．

4??

因为该函数的图像关于点?

?7π＋φ?＝－1，又|φ|＜π，得φ＝π，

?23?6?

?π，0?对称，

??3?

?π3π??π?所以2sin?3×－＋φ?＝2sin?＋φ?＝0，

34???4?

π

故有＋φ＝kπ(k∈Z)．

4

ππ

解得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝0时，|φ|取得最小值.

44π

答案： 4

8．(2013·广东六校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在

x＝取得最大值2，且函数f(x)的最小正周期为2π.现将函数y＝f(x)图像上各点的横坐

π6

4

1π

标缩小为原来的，纵坐标不变，再把函数图像向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图

23像，则g(x)＝__________.

2π

解析：由函数f(x)的最小正周期为2π且ω＞0，可得2π＝，∴ω＝1.又函数f(x)

ωπ?π?＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x＝取得最大值2，则A＝2，且sin?＋φ?6?6?＝1，

πππ

∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 623π?π?∴φ＝.故f(x)＝2sin?x＋?.

3?3?

1

将函数y＝f(x)图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的解析式

2π?π?π??为y＝2sin?2x＋?，又把函数y＝2sin?2x＋?的图像向右平移个单位，得到g(x)＝3?3?3??π???π?π??2sin?2?x－?＋?，∴g(x)＝2sin?2x－?. 3?3?3????

π??答案：2sin?2x－?

3??

π??9．(2013·合肥八中质检)将函数f(x)＝2sin?2x＋?的图像向右平移φ(φ＞0)个单

4??1π

位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图像关于直线x＝对称，则φ的

24最小正值为________．

π??解析：函数f(x)＝2sin?2x＋?的图像向右平移φ(φ＞0)个单位后变为f(x)＝

4??π1??2sin?2x＋－2φ?，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的倍后，得到f(x)＝

42??πππππ??2sin?4x＋－2φ?，其图像关于直线x＝对称，则4×＋－2φ＝kπ＋(k∈Z)，∴44442??3πkπ3

φ＝－(k∈Z)，当k＝0时，φ的最小正值为π.

828

3答案：π

8三、解答题

?π?2

10．(2013·邹城二中期中)已知函数f(x)＝2cosx·cos?x－?－3sinx＋sinxcosx.

6??

(1)求f(x)的最小正周期；

5

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