西工大—高数答案—重积分(2)

3+?π4d??2πa0f(?cos?,?sin?)?d?.

3 易犯的错误是：原积分=?8.计算I?40πd??aacos?f(?cos?,?sin?)?d?.

22,其中：(x?y)dxdyDx?y?4. ??D 解 积分区域关于x轴,y轴均对称,被积函数x?y关于x,y均为偶函数,故 I=4??(x?y)dxdy（D1为D位于第一象限的部分）

D1π0 =4?2d??(cos??sin?)?2d?=

02643.

9.选择适当的坐标计算下列各题. （1）??sinDx?ydxdy,其中D是圆环形闭区域：π?x?y?4π.

2π02222222解 原式=?（2）??xeD?yd??2ππsin???d?=2?[??cos??sin?]π=?6π.

222π2dxdy,其中D是由曲线y?4x和y?9x在第一象限所围成的区域.

y 解 ??xeD?y2dxdy=?y4y9??0dy?2y3xe?y2dx

51442=

12???0(?)e?y2dy =

572???0ye?y2dy=.

（3）??arctanDyxdxdy,D是由圆周x?y?4,x?y?1,及直线y?0,y?x所围成

222的在第一象限内的区域.

解 ??arctanDyx?dxdy=?240d?????d?=

12364π.

2（4） ??(x?y)dxdy,其中D是由直线y?x,y?x?a,y?a,y?3a(a?0)所围

D2成的闭区域. 解 原式=?=?3aa3aady?yy?a(x?y)dx=?32223aady[x23?yx]y?a

2a[y23?13(y?a)?ya]dy

39

=[y412?(y?a)124?a333a4y]a =14a.

易犯的错误时：认为积分区域如图9.4 所示.

原式=?dx?0ax?aa3ax22(x?y)dy

+?3aadx?22(x?y)dy.

图 9.4

此错误是由画图不准确造成的.

（5） ??ydxdy,其中D是直线x??2,y?0,y?2及曲线x??2y?y2所围成的

D平面区域.

解1 区域D及D1如图9.5所示,有 ??ydxdy=

D??D?D1ydxdy-??ydxdy =?dx?ydy?D102?20?ππ2d??2sin?0?sin???d?

=4-

8?3?2??2sin?d?=4-

481?34???2(1?cos2??1?cos4?2)d?

=4-.

y 解2 如图9.5所示,

D?{(x,y)|?2?x??2y?y,0?y?2},

22 DD1 O ??ydxdy=?ydy?02??22y?y2dx

D220-2 图 9.5

x

=2?ydy?02?y2y?ydy

2 =4-?y1?(y?1)2dy

0π 令y-1=sint4??2π?2(1?sint)costdt=4-

2π2.

10.求由圆??2和心形线??2(1?cos?)所围图形（在圆外部分）的面积.

???2(1?cos?)π解 由?得交点：?0??,?0?2.面积

??22?π A=???d?d?=?D2π?2d??2(1+cosθ)2?d?

40

π =2?2π?2[cosθ+2cos?]d?=4[21π??2]=8?π. 22π2)与直线??π211.设平面薄片所占的闭区域D是由螺线??2?上一段弧(0???围成,它的面密度?(x,y)?x2?y2.求此薄片的质量.

π所

解 质量M=???(x,y)d?=??(x?y)d?=?2d??DD222?0π0?d?=?3204?d?=

4π540.

第三节 三重积分的计算

1.化I?????f(x,y,z)dxdydz为三次积分,其中积分区域?分别是：

（1）由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0,z?0所围成的闭区域. （2）由曲面z?x2?y2,y?x2及平面y?1,z?0所围成的闭区域.

?z?xy解 （1）由?消去z,得xy?0,即x?0或y?0.因此空间域是以z?0为下

z?0?曲面,z?xy为上曲面,侧面是柱面x?0,y?0,x?y?1?0.因此

原式=?dx?011?x0dy?xy0f(x,y,z)dz.

（2）积分区域?可表示为

0?z?x2?y2,x2?y?1,?1?x?1 所以

???f(x,y,z)dxdydz???1?1dx?1x2dy?x?y022f(x,y,z)dz.

π22.计算???ycos(x?z)dxdydz,其中?由y??x,y?0,z?0和x?z?所围成的

闭区域.

解 将积分区域?向xOy平面投影得Dxy：0?x?0?z?π2?x,(x,y)?Dxy,故

π?xπ2,0?y?x,则?可表示成

????ycos(x?z)dxdydz=??dxdy?Dxy20ycos(x?z)dz=??y(1?sinx)dxdy

Dxy 41

π =?dx?20x0y(1?sinx)dy=

hR1π20?22x(1?sinx)dx=

2π216?12.

3.计算???zdxdydz,其中?是由锥面z??x?y与平面z?h(R?0,h?0)所围

成的闭区域.

解1 积分区域?如图9.6所示,用竖 坐标为z的平面截域?,得圆域

D(z):x?y?Rzh22222zhRzh222D(z),

xO y其面积为π,采用“先二后一法”计算.

h????zdxdydz=?zdz0??D(z)d?=?z?π0hRzh222dz

图 9.6

=

πRh22?z4h04=

πRh422.

hR解2 积分域?的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z?h及z?利用柱面坐标计算.

原式=?2π0?.

d??2R0?d??hhR?zdz=2π??0R12[h?2hR22?]d?

2 =π[h2??2hR22??44]=

R0R24hπ.

2易犯的错误是：

（1）在柱面坐标下,原式=?2π0d???d??0RhR0?zdz.关于z的积分上、下限错误.

（2）采用“先二后一法”.

???zdxdydz=??h0zdz2??2dxdy=?R22??h0zdz=

?Rh222.

x?y?R关于x,y积分的积分域错误,积分域应为x?yhR222Rzh2222.

特别注意,将被积函数z用表达式z?x?y代入也是错误的.

24.计算???xzdxdydz,其中?是由平面z?0,z?y,y?1以及抛物柱面y?x所围

?42

成的闭区域.

解1 按先z再x后y积分. 原式=?dy?1yxdx?yzdz?0

0?y0其中?y其值为0.

?yxdx为奇函数再对称区间上的积分,解2 按先x再y后z积分. 原式=?1zdz?1dy?y0z?yxdx?0

其中?yd?yxx?0.

解3 按先x再z后y积分. 原式=?1yy0dy?0zdz??yxdx?0

5填空题. 设?由球面z?2?x2?y2与锥面z?x2?y2围成,则三重积分

I????f(x2?y2?z2)dxdydz

?在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： I??1?x2x2?y2222

?1dx?1?1?x2dy?2?x2?y2f(x?y?z)dz 柱面坐标系下： I??2πρ220d??10dρ?2?ρf(ρ?z2)ρdz

球面坐标系下： π I??2π4220d??0d??0f(r)rsin?dr.

6.利用柱面坐标计算下列三重积分. （1）???e?x2?y2dxdydz,其中?为由x2?y2?1,0?z?1所确定.

? 解 ???e?x2?y2dxdydz=dz=2π??2π11?ρ20d??0ρdρ?0e?1ρe?ρ21?ρ220dρ=π?0edρ?ρ21 =?πe=?π(e?1?1)=π(1?10e).

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