经济数学基础作业答案

宁波电大07秋《经济数学基础(综合)》作业1 参考答案

第一篇 微分学

一、单项选择题

1. 下列等式中成立的是(Ｄ)．

A． lim(11x???x)2x?e B．lim2x??(1?x)x?e

C．lim1x??(1?2x)x?e D． limx??(1?1x)x?2?e

2. 下列各函数对中,( B )中的两个函数相等．

A．f(x)?x,g(x)?x2 B．f(x)?lnx5,g(x)?5lnx

C．f(x)?x,g(x)?lnx D．f(x)?x2?4x?2,g(x)?x?2 3. 下列各式中，（ Ｄ ）的极限值为１ ．

A．lim1x B．limsinxsinxx?0xsinx??x C．limx?? D． limxsin1

2xx??x4. 函数y?1x2?9?arcsinx5的定义域是（ B ）．

A．??5,5? B．??5,?3?U?3,5? C．???,?3?U?3,??? D．??3,5?

?tan?3x?5. f(x)???x x?0在点x?0处连续,则a?（ B ）

． ?? a x?0A．

13 B． 3 C． 1 D． 0 6. 设某产品的需求量Q与价格P的函数关系为Q?3e-p2,则边际收益函数为（ C ）.

ppppA．?32e-2 B．3Pe?2 C．(3?32P)e?2 D．(3?3P)e?2

7. 函数f(x)?x2?4x?2在x = 2点（ B ）.

A. 有定义 B. 有极限 C. 没有极限 D. 既无定义又无极限 8. 若f(x)?cos2x，则f??(?2)?（ C ）.

1

A．0 B．1 C． 4 D．-4 9. 曲线y?x3?x在点（1，0）处的切线是（ A ）.

A． y?2x?2 B． y??2x?2 C． y?2x?2 D． y??2x?2

10. 设某产品的需求量q与价格p的函数关系为q?a-bp (a,b?0为常数),则需求量Q对价格

的弹性是( D ). A. ?b B.

-b-ba-b C. a-b% D. bp

a-bp

11. 已知函数f(x)???1-x x?0-x，则f(x)在点x?0? e x?0处（ C ）.

A. 间断 B. 导数不存在 C. 导数f'?0???1 D. 导数f'?0??1

12. 若函数f(x?1)?x(x?1),则f(x)?（ B ）.

A. x(x?1) B. x（x+1） C. (x?1)(x?1) D. (x?1)2 13. 设函数f(x)在xh??f?x0?2h?0可导,则limf?x0?2h?0h?（ D ）．

A．

14f?x B．10? 2f'?x'0? C．f?x0? D．4f'?x0? 14. 设函数y? lnxx,则下列结论正确的是( A ). A．在(0,e)内单调增加 B．在(0,e)内单调减少 C．在(1,+?)内单调增加 D．在(e,+?)内单调增加 15. 设方程xy3?2y?1确定y是x 的函数,则y'x?1? ( D )

A. 0 B. 2 C. 1 D. -1

二、填空题

1. 函数f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是(?5,2).

2. 已知某产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6 ．?ln(1?ax)3. 函数f(x)??? x?0?x?2x?0在x?0处连续,则常数a的值为a?2. 4. 抛物线y2?2px(p?0)，在点M(py?x?p2,p)的切线方程是2. 5. 设函数y?sin(lnx3),则

dy3dx?xcos(lnx3).

2

6. 已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为该商品的价格，则该商品的收入函数 R(q) = 45q – 0.25q 2.

7. 设f(x)?x?ln(1?x)有极值,则其极值是极小值0.

11?x2?128. 设f()?x?x?1(x?0)，则f（x）= .

xxd2ylnx? -3 . 9. 设y?,则

xdx2x?110. limx?1sin(x-1)x?1?2.

三、解答题

1. 求下列极限：

141x?1(1?2x)5(3x2?x?1)?2) ⑵ lim(1?) ⑶ lim⑴ lim( 6x?2x?2x??x??2xx?4(x?1)(2x?3)解：⑴ 原极限=lim(x?2x?24x?211?2)=lim? =limx?2(x?2)(x?2)x?2(x?2)(x?2)(x?2)x?4411??1x12)lim(1?)=e?1=e2 ⑵ 原极限=lim(1?x??2xx??2x111(?2)5(3??2)xx??3 ⑶ 原极限=limxx??132(1?)(2?)6xx2. 求下列函数的导数y?：

⑴ y?2?xcosxx ⑵ y=31?ln2x ⑶ y?e(sinx?cosx) 1?xx解：⑴ y?(x) =2ln2??(1?x)sinx?(?1)cosxcosx?(1?x)sinxx2ln2?= 22(1?x)(1?x)222??2lnx?112222233??⑵ y?(1?lnx)(1?lnx)=(1?lnx)=(1?lnx)3lnx

33x3x⑶ y??[e(sinx?cosx)]??(e)?(sinx?cosx)?e(sinx?cosx)?

xxx?ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2exsinx

3

??1?cosxx2 , x?03. 设f(x)??? a , x?0问当a、b为何值时，f(x)在x?0处连续？

??ln(1?bx)?x, x?0 解:f(0)?a. 当x?0时,

(x)?1?cosx(1?cosx)(1?cosx)sin2 fx1x2?x2(1?cosx)?x2?1?cosx ?sinxxlim?0?f(x)?lim?(x)2?lim1?0?1?cosx?12?11?1?12

x?0x而 xlim?0?f(x)?xlimln(1?bx)1?0?x?xlim?0?b?1bxln(1?bx)?bxlim?0?ln(1?bx)bx?blne?b 由于f(x)在x?0处连续的条件是极限limx?0f(x)存在,且极限值等于f(0)，即

xlim?0?f(x)?lim?0f(x)?f(0) x?据此即得 a?b?12 4. 设 y = f(x) 由方程 cos(x?y)?ey?x确定，求y?

解：两边取对求导[cos(x?y)]??(ey)??(x)? ?sin(x?y)[1?y?]?eyy??1

y??1?sin(x?y)ey?sin(x?y) 5. 下列各方程中y是x的隐函数，试求dy： ⑴ sin(x?y)?exy?4 ⑵ xlny?ylnx?1 ⑶ e2y?xy2?e2解：(1)方程两边对x求导，得cos(x?y)?(1?y?)?exy?(y?xy?)?0

解出y?，得y???cos(x?y)?yexycos(x?y)?yexycos(x?y)?xexy ∴ dy??cos(x?y)?xexydx (2)方程两边对x求导，得lny?x?1y?y??y?lnx?y?1x?0 xylny?y2?,得y???xylnx?x2 ∴dy??xylny?y2解出yxylnx?x2dx ⑶ 方程e2y?xy2?e2两边对x求导，得e2y?2?y??(y2?x?2y?y?)?0

4

y2y2解出y?，得y?? ∴dy?dx 2y2y2e?2xy2(e?xy)6. 确定下列函数的单调区间。

3⑴ y?ex?x?1 ⑵ y?x3?x ⑶ y?x?ln(1?x)

2解: ⑴ y??ex?1?0,?x?0，函数单增区间为[0,?)，单减区间为(??,0]。

⑵ y??x ⑶ y???132?1?0,?0?x?1，函数单增区间为[0,1]，单减区间为(??,0]U[1,?)。

x?0,?x?0或x??1，函数单增区间为[0,?)，单减区间为(?1,0]。 1?x7. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值。

⑴f(x)?x3?3x2，[-1,4] ⑵f(x)?x?1?x，[-5,1] ⑶f(x)?ln(x2?1)，[-1,2] 解: ⑴ f??3x(x?2)，f(0)?0，f(2)??4，f(?1)??4，f(4)?16，

最大值为f(4)?16，最小值为f(2)?f(?1)??4。 ⑵ f??1?121?x34，f()?345，f(?5)??5?6，f(1)?1， 4最大值为f()? ⑶ f??5，最小值为f(?5)??5?6。 42x，f(0)?0，f(?1)?ln2，f(2)?ln5， 2x?1最大值为f(2)?ln5，最小值为f(0)?0。

8. 设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数q?2000?4p，其中p为价格，q为产量，这种产品在市场上是畅销的，问价格为多少时利润最大？并求最大利润.

解：C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p)=250000-400p

R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2

利润函数L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令L?(p)=2400 – 8p = 0 得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大. 最大利润 L(300)?2400?300?4?300?250000?11000（元）． 9. 试证：可微偶函数的导数为奇函数．

证：设f (x)为可微偶函数，即f (x) = f (-x)，则

2f? (x) = (f (x))?= (f (-x))?=f? (-x) (-x)?= -f? (-x)

即 f? (-x) = -f? (x)

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