土塑性力学(8)

6.3.1 临界状态线和Roscoe面 v正常固结线临界状态线qp'临界状态线正常固结线lnp'vlnp' p',q,v空间中的临界状态线 各向等压固结过程中，孔隙比e或比容v(v=1+e)与有效应力的关系可用下式表示： v?N??lnp' 6.3.1 式中 N—当p’=1.0时的比容。 因此 N?Vp'?exp()? 6.3.2 正常固结粘土排水和不排水三轴试验（CID试验和CIU试验）表明，它们有一条共同的破坏轨迹，与排水条件无关。破坏轨迹在p’, q平面上是一条过原点的直线，在v,lnp'平面上也是直线，且与正常固结线 平行，分别是如图和所示。破坏轨迹线可用下式表示，

qcs?Mp'cs 6.3.3

vcs????lnp'cs 6.3.4 式中 CS—表示临界状态； M—p’，q平面上临界状态斜率； ?—p’cs=1.0时土体比容； ?—v,lnp'平面上临界状态斜率；

一旦土体的应力路径到达这条线，土体就会发生塑性流动。这时土体被认为处于临界状态，破坏轨迹被称为临界状态线。临界状态线在p',q,v空间为一条空间曲线，如图6—5空间曲线ABC所示。

图6—6中AB为一个CID试验在p',q,v空间的应力路径。在p',q平面上斜率为3的直线的平面上。该类平面称为“排水平面”。不同固结应力的CID试验的应力路径均起自正常固结线，结束于临界状态线。

固结压力不同的正常固结排水三轴试验应力路族在p',q,v空间形成一个曲面。同样，固结压力不同的正常固结不排水三轴试验应力路族在都处于正常固结线和临界状态线之间。

p',q,v空间也形成一个曲面。两个曲面

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临界状态线B1B13A1q临界状态线qB1p'Cp'CO正常固结线A1BD正常固结线AAEOv正常固结粘土CID试验应力路径v正常固结粘土CIU试验应力路径临界状态线qBp'Cq/p'e正常固结线AOCIU试验vROSCOE面CID试验p'/p'e1.0p'/p'e,p'/p'e平面上Roscoe面 Rendulic（1936）分析了许多三轴试验的结果，首先提出饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念。 Henkel（1960）把饱和Weald粘土的固结排水三轴试验得到的等含水量线同固结不排水三轴试验得到的应力路径（也是等含水量）画在一起，发现其形状是一致的，如图6—8所示。等含水量线也就是等比容线。这样的图称为Rendulic图。 由Rendulic有效应力和孔隙比关系图可知，饱和粘土的有效应力和孔隙比之间存在唯一关系。也就是说，对于所有的正常固结排水和不排水三轴试验来说，应力和比容之间有唯一的关系，与排水条件无关。因此由CID试验应力族形成的曲面和由CIU试验应力族形成的曲面是同一曲面。换句话说，所有正常固结三轴试验的应力路径都在这个面上。这个曲面，称为Roscoe面（图6—9）。

在p—q与v空间，三轴固结排水或者不排水试验路径沿正常固结曲线随着随着固结压力变化而运动的轨迹构成的空间曲面，就称为Roscoe面或状态边界面（State Boundary Surface），简称为SBS面。

Roscoe面或状态边界面的物理意义与几何意义：

（1）Roscoe面是联系正常固结曲线与临界状态线的一个唯一空间曲面。如果称排水应力路径在p—q与v空间所在的平面为排水面，不排水应力路径在p—q与v空间所在的平面为不排水面，则排水面与Roscoe面的交线就是排水应力路径，不排水面与Roscoe面的交线就是不排水应力路径。弹性墙与Roscoe面的交线就是屈服曲线。

（2）Roscoe面是一个材料状态边界面。它将p—q与v空间分成两个部分：Roscoe面以内或其面上是可能应力状态区；Roscoe面以外为不可能应力状态区，即应力状态不可能超越Roscoe面。因此它是正常固结或弱超固结粘土的一种应力状态边界面或物态边界面，故Roscoe面又称为状态边界面。

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（3）Roscoe面具有屈服面或加载面的性质，但又与屈服面或加载面不完全相同。如果说Roscoe面是通常意义上的加载面，则按前面的加卸载条件，应力沿Roscoe面运动应该属于中性变载，不应当产生新的塑性剪应变和体应变。如果说Roscoe面不是通常意义上的加载面，它只是体积屈服曲面或体积加载面，即虽然将产生新的塑性剪应变，但是却不产生新的塑性体应变。

对任一孔隙比e定义一个等效应力，是各向等压正常固结达到给定孔隙比时的固结压力。因此，对于任一比容v值，

p'e?exp(N?v?) 6.3.5

在p'/pe',q/pe'平面上，Roscoe曲面被归一为一条曲线，如图6—10。

临界状态线具有以下重要性质：

（1）临界状态线的存在说明剪切破坏时，p—q与v之间存在着唯一对应关系，即破坏时的强度取决于破坏时的平均应力和比容，与应力历史和应力路径无关。

（2）当材料处于临界状态时，只发生剪切变形，不产生体积变化。这说明材料已经处于塑性流动状态。这个不变的比容就称为临界比容，相应的孔隙比就称为临界孔隙比。对于正常固结粘土进行排水剪试验，试样在剪切过程将发生剪缩，孔隙比变小，最后减小到一定程度后就不再减小；对于超固结粘土进行排水剪试验，试样在剪切过程将发生剪胀，孔隙比变大，最后增大到一定程度后就不再增大。最后达到临界孔隙比或临界比容。这就证明了临界状态线的存在。

（3）临界状态线是应变硬化材料与应变软化材料的分界线。

6.3.2 Hvorslev面

在归一化坐标平面上，可以直接比较超固结土样排水和不排水三轴试验的破坏点。把破坏点轨迹简化成一条直线AB。OA相当于受拉应力破坏，斜率为3。直线AB限制在直线OA的右边，临界状态线（点B）的左边。当然，如果土体能承受拉应力，相应的张拉破坏线在OA线的左边。

通常把图6—12中破坏点轨迹称为Hvorslev面。在归一化坐标平面上，Hvorslev面的方程为： q/pe'?g?h(p'/pe') （6.3.6）

式中 g—纵坐标上截距； h—直线斜率。

Parry（1958）指出，超固结土样的应力路径，在达到破坏点后应变增大时趋向临界状态。超固结比值（Rp=OCR）不同的土样，不排水三轴试验的归一化应力路径可简化为如图6—13所示。各种超固结比值土样的应力路径都趋向临界状态线，与初始的状态无关。达到临界状态需要有大的应变，这样程度的应变在三轴仪中是不能产生的。对超固结土样破坏后趋向临界状态，至今尚未有令人信服的证据。

6.3.3 完全的状态边界面

在p',q,v空间中，正常固结和超固结土样的应力路径不能超过Roscoe面和Hvorslev面，处在这两个面包围的空间中。正常固结土应力路径都在Roscoe面上，超固结状态用位于该面下面的点表示，在该面以上是不可能有点来表示应力状态的。Roscoe面成为一个边界，在该面的面上或以下是可能的状态，在该面以上是不可能的状态，Roscoe面称为状态边界面。超固结土样的应力路径在土样破坏时到达Hvorslev面，在土样破坏后应变增大时趋向临界状态。Hvorslev面也是一个边界，在该面的面上或以下是可能的状态，在该面以

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上是不可能的状态，Hvorslev面也称为状态边界面。因为通常假设土不能承受有效应力，状态边界面限于?'3不能小于零的情况。当?'3等于零时，q??1',p'?13?1'，所以q/p’=3。因此，状态临界状态线q=MpqBCHvorslev面边界面受到对p’轴倾斜坡度为3比1的平面所限制。这样由Roscoe面、Hvorslev面和对p’轴倾斜坡度为3比1的平面就构成了一个完全的状态边界面。在三个面包围的空间中的状态是可能的状态，在三个面以外空间中的状态是不可能的状态。在p',q,v空间中的完全的状态边界面如图6—14所示。在归一化坐标平面上的完全的状态边界面如图6—15所示。 Hvorslev状态边界面的方程前面已经得到，如式6.3.6所示。以下两节讨论Roscoe状态边界面的方程。 弹性墙与屈服曲线 有了临界状态线、状态边界面和破坏面的概念，就可以定义弹性墙与屈服曲线。如果在p',q,v空间，以平行于q轴的直线为母线，沿膨胀线移动，与Roscoe面和Hvorslev面（破p'正常固结线AO受拉破坏CIU试验vCID试验p',q,v空间中的完全的状态边界面q/p'e不可能状态临界状态线Roscoe面Hvorslev面可能状态不可能状态p'/p'ep'/p'e，P'/p'e平面上完全的状态边界面坏面）相交而成的空间曲面就称为弹性墙（Elastic Wall），简称EW墙。弹性墙有许多个。由于Cam模型假设当应力在这样的“墙面”内变化时，只产生弹性变形，故称为弹性墙。显然，根据弹性墙的定义，膨胀曲线就是弹性墙在v—p平面的投影，而且只有应力达到墙顶—Roscoe面时才会产生塑性变形。故定义弹性墙与Roscoe面的交线为一条屈服曲线。因此，一条弹性墙对应着一条屈服曲线。 屈服曲线的性质： （1）屈服曲线是弹性墙与Roscoe面的交线。它在v—p平面的投影就是膨胀曲线，在p-q平面的投影是一条曲线。图中同时过固结应力为pc的C点的不排水应力路径与屈服线，?v?0。二者虽然接近但是性质并不相同。不排水应力路径是不排水面与Roscoe面的交线，而屈服曲线是弹性墙与Roscoe面的交线，是一条空间曲线，在屈服曲线上虽然有?v但是有弹性体积变化。

（2）在p—q平面屈服曲线的方程为

?q?f(p,q,H?)?p?pcp????0

?M?22p?0，

式中 pc—固结压力，在这里就是硬化参数H?，即H?=pc；

M—破坏线的斜率。

??????p?pc/2q???上式可改写为 f(p,q,H?)??pcpc???M???22???

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2????1?0 ???从上式可以看出来，修正Cam模型的屈服曲线在p—q平面上是一个以(0,pc/2)为圆心，以为pc/2长半轴，以q?Mpc/2为短半轴的椭圆。由于拉压时M不同，压拉椭圆的短半轴的长度也不相同。对于正常固结与弱超固结粘土来说，只有压拉临界状态线之间的两个半椭圆起作用。而对于严重弱超固结粘土、密实砂土或具有应变软化性质的岩石，则扩展到拉压状态边界线以外的两个半椭圆。

6.3.4 能量方程 土体在外力作用下，发生体积应变增量和剪切应变增量。体积应变和剪切应变分别由弹性变形和塑性变形两部分组成，其表达式为： ????vq软化CSLMc1硬化三轴压缩Pc三轴伸长CSL1MtopCam模型的屈服曲线??????ev??????pv 6.3.7 6.3.8

essps相应外力做功记为：

?E?p'??v?q??s 6.3.9

其中一部分为可恢复的弹性能，一部分为不可恢复的耗散功（或塑性功），即 ?E??we??wp 6.3.10 弹性能和耗散功分别记为：

?we?p'???wp?p'??ev?q???q??es 6.3.11

spvp 6.3.12

在剑桥模型中，假定弹性体积应变可以由各向等压固结试验中的回弹曲线求得，即

??ev?k?p'1?ep' 6.3.13

它还假定剪切变形中的弹性部分等于零，亦就是说，假定一切剪应变都是不可恢复的，于是式6.3.8可该写为：

??s???ps 6.3.14

es结合式6.3.11和式6.3.13，并考虑到???we?k?0，得

1?e?p' 6.3.15

图6—16表示土样在单剪时的变形情况。土样高为H，水平截面积为A。剪切变形后，水平位移为du，竖向位移为dv，如图6—16所示。在剪切变形过程中，正应力?'y和剪应

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