土塑性力学(7)

Dijpq?g??????mnpq????rsDrskl?g??uv式中

Dijklepep—弹塑性模量张量。Dijkl?Dijkl?A?

Dmnuv其次考虑在应变空间中的表述情况，由式5.10.1和广义虎克定律，得

d?ij?Dijkld??1kl?d?pij 5.10.10

pij或 Dijkld?ij?d?kl?Dijkld?上式中Dijkld?pij 5.10.11

pkl就是弹性条件下塑性变形增量所对应的残余应力增量d?。结合应变空间

中的流动规则，得

Dijkld?ij?d??d???*kl??ij* 5.10.12

d?在应变空间中可假定为：d??1??A??ijd?ij 5.10.13

式中A1—硬化系数H?的函数。 联立式5.10.12和式5.10.13，可得

epd?kl 5.10.14 d?ij?Dijkl式中

epDijkl?Dijkl?1??*??*A1??ij??kl 5.10.15

式5.10.14和5.10.15对加工硬化材料和加工软化材料均适用。

确定了材料的弹塑性模量张量Dijkl，也就确定了材料的弹塑性本构关系，根据一定的边界条件，结合其它基本方程，运用一定的计算方法，如有限单元法，就可求解具体的边值问题。

ep5.11 塑性形变一般理论及历史上几个典型理论

5.11.1 塑性形变一般理论

实质上是把塑性形变过程看成是非线性弹性变形过程。在塑性形变理论中是按照全量来分析问题的，分析方法与线性弹性力学一致。形变理论在应力状态与相应的应变状态之间建立一一对应的关系。在图5-35中，加载至A点的变形??ij?A和A点的应力状态??ij?A存在下面关系：

??ij?A?Dijkl??ij?A 5.11.1 式中

Dijk—lA点割线模量张量。

上式与非线性弹性本构方程中采用割线模量的表达式是一致的。塑性形变理论又称为全量理论。严格说，在弹塑性变形阶段，应变状态与应力并不存在一一对应的关系，因此应用塑性

35

形变理论是有一定条件的。通常认为在满足比例加载，或简单加载的条件下，应用形变理论计算出来的结果才比较接近实际情况。当偏离简单加载条件变化不大时，有时也可以使用形变理论。所谓比例加载就是在加载过程中，六个应力偏量是按比例增长的，也就是说八面体剪应力方位角，或应力Lode参数保持常数。如果描述一点应力状态的六个应力分量按同一个比例增加，则与它所对应的六个应变分量按同一个比例增加，此时应力Lode参数也将保持

?????。

不变，而且

在小变形和比例加载条件下，塑性形变理论与塑性增量理论是等价的。 5.12.2 历史上几个典型的塑性形变理论 （1） Hencky 理论

对象是理想弹塑性材料。认为体积变形按弹性规律变化，塑性应变偏量分量与应力偏量分量成比例，总应变偏量等于弹性应变偏量与塑性应变偏量之和。其表达式为 ?ij?eij?eij??m?ij?epSij2G??2GSij?1?2vE?m?ij 5.11.2

式中 ? —非负的标量因子，卸载过程等于零。 若材料不可压缩，v?0.5，则式

5.11.2可改写为： ?ij?1??2GSij 5.11.2

（2） Nadai理论

考虑加工硬化材料，材料不可压缩，即v

?ij??0.5，并忽略弹性应变部分。应变采用自然应变量

度，考虑大应变情况，其应力应变关系表达式为：

?82?8Sij

式中 ?ij—自然应变； ?8—八面体剪应力； ?8—自然应变的八面体剪应变。 （3）ИДЪЮШИН理论

考虑加工硬化材料，材料不可压缩，其应力应变关系表达式为：

eij?3?i2?iSij

第六章 土的弹塑性模型

6.1 引 言

近年来根据弹塑性理论建立土的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多，在这一章只能通过几个典型例子的分析，介绍根据弹塑性理论建立土的本构模型的基本思路。下面分别介绍理想弹塑性模型，剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan模型，以及多重屈服面模型和边界面模型的基本概念。

6.2 理想弹塑性模型

首先介绍理想弹塑性本构方程的普遍表达式，然后介绍几个典型的理想弹塑性模型。 6.2.1 理想弹塑性本构方程的普遍表达式

对理想弹塑性材料，塑性势函数与屈服函数相同，下面用F表示，硬化参数A恒等于零，于是式6.1.3可改写为：

DijpqDijkl?Dijkl?ep?g??pq????rsDrskl?g????mn 6.2.1

Dmnuv??uv 36

下面介绍另外一种表达形式。 弹性应变增量d?ije可表示为：

d?ij?edI19K?ij?12GdSij 6.2.2

式中 I1—应力张量第一不变量； Sij—应力偏张量； K、G—分别为体积弹性模量和剪切弹性模量。 式6.2.2两边乘以?ij，注意到?ij?ij??ii?3，可得：

d?kk?e13KdI1 6.2.3

弹性应变偏增量可表示为

deij?e12GdSij(i?j) 6.2.4

屈服函数记为： F(?ij)?0 6.2.5 或 F(I1,J2,J3)?0 6.2.6 塑性应变增量为： d?ijp上式可改写为： d?ijp?d??F???F??kkij 6.2.7

?ij??F??kk?d?(?F?Sij) 6.2.8

p两边同乘?ij，可得 d?kk?3d?p 6.2.9

?F塑性应变偏增量可表示为：

dekk?d??Skk 6.2.10

dF??F??ij在塑性变形阶段，加载时，dF(?ij)?0，则有 上式改写为：

dF??F??kkd?ij?0 6.2.11

d?mm??F?SijdSij?0 6.2.12

结合式6.2.3、6.2.4和6.2.12，注意到d?mm?dI1，有

3K?F??kkd?mm?2Ge?F?Sijdeij?0e 6.2.13

将式6.2.9和式6.2.10代入上式，可得

3K?F??kk(d?mm?d?mm)?2Gp?F?Sij(deij?deij)?0p 6.2.14

将式6.2.9和式6.2.10代入式，可得

3K?F??kk??mm?2G?F?Sijdeij?d?[9K(?F??kk)2?2G?F?F?Sij?Sij] 6.2.14

3K?F??kk??)mm?2G?F?Sijdeij?F于是可得到d?的表达式： d??9K(?F??kk2?2G?F

?Sij?Sij理想弹塑性材料的本构方程可表示为：

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??ij??I19K?ij?Sij2G?d?[?F??kk?ij??F?Sij] 6.2.17

也可以表示成应力张量增量的表达式，

??ij?K??kk?ij?2G?eij?d?[3K?F??kk?ij?2G?F?Sij]] 6.2.18

式6.2.17或式6.2.18是理想弹塑性材料普遍的本构方程的又一种表达方式。

6.2.2 Prandtl-Reuss模型

是最简单的理想弹塑性模型。材料屈服函数采用von Mises屈服函数，其表达式为：

F(?ij)?J2?k?0

6.2.19

von Mises 屈服准则在主应力空间屈服面为一圆柱面，在π平面为一圆。 当材料处于弹性阶段（F<0），或卸载时（F=0，同时?F?0），其应力应变关系为：

??ij??I19K?ij?12G?Sij 6.2.20

?K??ij?2G?eij或 ??ij 6.2.21

当时，材料处于弹塑性变形阶段，加载时（?F?0），将6.2.19代入式6.2.17和6.2.19，可得应力应变关系为： ??ij??I19K?ij?12G?Sij?d?Sij2k 6.2.22

Sij或 ??ij?K??ij?2G?eij?Gd?k 6.2.23

式6.2.25或式6.2.26是模型的本构方程。

若忽略材料的弹性变形，采用理想刚塑性假设，由Prandtl-Reuss模型可以得到Levy—von Mises模型。Levy—von Mises模型的本构关系可表示为：

??ij?Smn?emn2k2Sij 6.2.27

6.2.3 Drucker—Prager模型

Drucker—Prager模型的屈服准则采用广义的von Mises屈服准则，其表达式为：

F?J2??I1?k?0

广义的von Mises屈服准则在主应力空间中，屈服面形状为一圆锥面，在?平面为一个圆，如图6-2所示。

Drucker—Prager模型认为当材料处于弹性阶段（F>0）或卸载（F=0，同时?F力—应变关系为：

??ij?0）时，应

??I19K?ij??Sij2G

或 ??当F=0，且加载时（?F??ij?K??kk?ij?2G?eij

?0），应力—应变关系为：

?I19Kij??ij??Sij2G?d?[???ij?Sij2J2] 6.2.31

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或 ??ij?K??kk?ij?2G?eij?d?[?K??ij?GSijJ2] 6.2.32

?3K???kk?2GJ2?GSmn?emn式中 d??9Ka 6.2.33

Drucker—Prager模型中参数?和k可以用土的粘聚力C和内摩擦角?来表示：

??sin?3(3?sin?)2

k?3Ccos?3?sin?2

由式6.2.31可以得到塑性体积应变：

?3K???kk?2GJ2?GSmn?emn]

??pkk??3?[9K?上式表明：Drucker—Prager模型中塑性体积变形不等于零。

6.2.4 Mohr—Coulomb模型

屈服条件表达式为： f??n?C??ntg??0

f(I1,J2,?)?13I1sin??J2sin?(??3)或

?J23cos?(??3

)sin??Ccos??0

6.3 剑桥模型（Cambridge模型）

该模型是英国剑桥大学Roscoe和他的同事于1958~1963年间提出的。由于最初它是针对流经Cambridge大学附近的Cam河的一种粘土而提出的。也称为Cam粘土模型。最初只适用于正常固结和弱超固结（超固结比小于等于8的粘土）粘土，后来也推广应用严重超固结粘土、砂土和一些岩石类材料。该模型属于等向硬化的弹塑性模型，在众多的岩土弹塑性模型中提出比较早、发展得也比较完善，故得到广泛应用。该模型包括一系列的基本概念和假设。了解这些概念和假设，不仅是掌握该模型所需要，而且对于学习和了解其他一些塑性模型也有帮助。

英国剑桥大学Roscoe和他的同事在正常固结粘土和超固结粘土试样的排水和不排水三轴试验的基础上，发展了Rendulic(1937)提出的饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念，提出完全状态边界面的思想。他们假定土体是加工硬化材料，服从相关联流动规则，根据能量方程，建立剑桥模型(Cam clay模型)。剑桥模型又称为临界状态模型。这个模型从理论上阐明了土体弹塑性变形特性，标志着土的本构理论发展新阶段的开始。下面简要介绍剑桥模型的一些基本概念。

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