土塑性力学(3)

2CA?BO?AO'3?213O?1LO'3'yO'??x2' 1 x??2cos30???1cos30??23***32*2(?2??1)?22

(?16232??1)y??3?(???1)sin30??*(2?3??2??1)

0?tgw6?xy?3?3?1???1??2?2??3?1???1??222?2??3

所以有：0????

2.应力张量的分解

一点的应力状态可以用主应力来表示，也可以用另外三个量来表示，即八面体正应力?8，八面体剪应力?8以及八面体剪应力的方位角?8。 在一般情况下，应力张量可以分解成两个分量： ?ij??m?ij?Sij

I13式中：??m?为平均正应力

m??ij—球形应力张量，相当于各向等压的状态；

Sij—应力偏张量，相当于纯剪切状态，二阶对称张量，主方向与应力主方向一

15

致。其表达式为：

?Sx????yx???xz??xySij??ij??m?ijSyyz???yz?Sz???xz，其主值应满足三次代数方程式为：

S3?J1S2?J1S?J3?0，

式中：

J1?Sii?Sx?Sy?Sz?0J2??(SxSy?SySz?SzSx)????12SijSij133?2xySiiS??2yzjj2zx?0??(S1S2?S2S3?S3S1)??

eijejkeki??1)]?2J3?Sij?S1S2S3?eijkS1iS2jS3k?J2?16[(?1??2)?(?22??3)?(?223(?1??2??3)?222322?8

3.纯剪应力状态

在Xi坐标系中一点的应力状态为??'11??'22??'33?0

ij，如果在某x'i个坐标中能求得：

则该点的应力状态称为.纯剪应力状态。

应力状态是.纯剪应力状态的充分必要条件为?ii??11??22??33?0，

1纯剪应力?s?(J2)2??max??8相差不大。

二、应力圆和应力Lode参数：

应力圆：在主应力空间???1n1??2n2??3n3??ijninj

?2222??22??1n1??2n2??3n3

22222222n1?n2?n3?

2由上式可得： n?21(???2)(???3)??(?1??2)(?1??3)2

n22?(???3)(???1)??(?2??3)(?2??1)2

n23?(???1)(???2)??(?3??2)(?3??1)

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?1??2??3(???2)(???3)??(???3)(???1)??(???1)(???2)??222?0?0 ?0?应力状态已定，则任一ζ，η应满足： [??[??[??121212(???3)]??2222???141414(?2??3)2(?3??1)]??(?1??2)]??222(?3??1)

2(?1??2)2（1） 对某一应力状态，迭加一个附加的各向均匀的应力状态时，三个应力圆的直径并不

改变，只是整个图形沿水平轴ζ移动。

?（2） Lode参数???2??1??322?2?2??3?1??3?1??3?2??2?1??3?1

???2?1??3?1??3?1?1 ???2?1??1

用来描述应力偏张量的形式，与应力摩尔圆的三个直径之间的比例对应。 对于单向压缩：?1?0对于单向拉伸：?3?0对于纯剪切： ?1?0?2??3?0?1??2?0????1 ???1

?2?0?3???1???0

Lode参数??与八面体剪应力的方位角w?之间的关系： ???3ctg(w???3) （0?w???3，?1????1）

三、应力空间、应力路径

在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间，p,q应力平面，以及

?1??3?1??32,2应力平面等。

等倾线—在主应力空间中，通过原点O，与三条坐标轴成相同夹角的直线L称为等倾线，或称为主对角线。其直线方程为： ?1??2??3

π平面—在主应力空间中，通过主应力空间原点O，与等倾线垂直的平面称为π平面，其平面方程为： ?1??2??3?0

π1平面—在主应力空间中，与π平面平行的其它平面称为π1平面，其方程为：?1??2??3?const

子午面—在主应力空间中，包括等倾线的平面称为子午面。 （二）、应力路径举例：

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各向等压力固结试验 三轴试验

2.2 应变分析

一、一点的应变状态：

土体的变形用应变来描述，其中一点的应变状态可用应变张量来描述：

???x?1???yx?2?1?zx?2?12?xz?2??x?1??yz????yx2?????zx?z??1?xy??xy?y?zy?xz??yz? ?z????ij?y12?zy在小变形下 ?ij?12(ui,j?uj,i)

?x,?y,?z分别表示为原来与x,y,z轴平行的矢量的单位长度的伸长或压缩，称为线应变或正

应变，而?xy,?yz,?zx分别表示变形前与坐标轴x—y, y—z, z—x致的两正交线段在变形后的

夹角减小量，对应于x—y, y—z, z—x平面内的相对剪切，称为工程剪应变或角应变，而?xy,?yz,?zx称为纯剪应变。前者多用于实践工作，数值分析，后者多用于理论推导。

z ? ?yz

y 在小变形条件下：应变张量各分量与位移分量的关系为

?ij?12(ui,j?uj,iyz )

过一点任意方向上的线应变ε可表示为： ???ijninj

式中，nx,ny,nz为单位方向矢量n在x、y和z轴方向的分量。该点处任意两个相互垂直的方

''''''''',ny,nz和nx,ny,nz）之间的剪应变为： 向（设其方向矢量在坐标轴方向的分量分别为nx?12?2(?xnxnx??ynyny??znznz)??'''''''''xy(nxny?nxny)??''''''yz(nynz?nynz)??''''''zx(nznx?nznx)''''''主应

变方向：体积应变、八面体剪应变

二、应变的张量分解及应变Lode参数 三、应变空间、应变路径

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主应变空间—以三条应变主轴作为坐标轴构成的三维空间。

物体中一点的应变状态可以用应变空间中的一点或矢量来描述，分别称为应变点或应变矢量。也可以通过应变矢量在平面和法线方向的投影来描述。前者与应变偏张量相对应，后者与应变球张量相对应。 四、应变率张量

在小应变下一点的应变率张量可表示为：?ij??ij 五、应变增量张量和自然应变

应变增量张量可表示为d?ij?12?x(?jdui???xiduj)

上式可以用来描述比较大的变形。这些比较大的变形可以用无限小的变形增量的总和而获得。

例如考虑沿着与xi轴相重合的柱体的轴作单向拉伸时，则有 d?1则d?1的总和即是所谓自然应变，表达式为?ll0?dll

dll0?ln(ll0)，

式中：l=柱体的瞬时长度；dl—l的无限小增量；l0—原始长度

如果变形时应变主轴不旋转，则积分具有简单的物理意义，它等于相应的自然应变。在一般情况下，积分是计算不出来的，并且没有确定的物理意义。

2.3 多相连续体力学基本方程

平衡方程 固体力学 几何方程

力学本构方程

平衡方程 多相连续体 几何方程

力学（土） 力学本构方程

有效应力原理：反映各相间应力约束关系

变形连续方程：反映各相间变形约束关系（）

（渗流本构方程）

第三章 土的弹性模型

4.1 引言

变形 — 线弹性模型 经典土力学 稳定性 — 刚塑性模型

土的变形特性非常复杂，目前还没有一种土的本构模型能考虑土的所有变形特征。 土的本构模型分类：实用模型；理论模型

精细的理论模型的弱点：参数确定困难；计算方法复杂 实用的方法：结合具体工程问题建立实用模型。 4.2 理想弹性模型

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