土塑性力学(5)

??2?0: d1(??2?1313??d)?d2(??1???3?23??d)?0

(d1?2d2)??d?d1??2?d2(??1???2)?[12d1(vt?1)?12

d2(vt?1)]??1??d?131d1(vt?1)?d2(vt?1)2d1?2d2??1

d1(??1???d)?d1??1[1??1(d2?d1)?vt(d2?d1)2d1?2d2d1??1]所以：

(3?vt)(d2?d1)2(d1?2d2)2d2(vt?3)2(d1?2d2)2

2d2(??2?1213??d)???1

??1???1(d1?d2)(3?v1)

代入（7）式：Et???1??1?12(d1?d2)(3?v1)

由??3?0：??d???ri??(d1(??3?1332?vt223)??1，

??d)?0

??d)?d2(??1???2?3d1??3?d1?(??1???3)?d2[3??1?3??3?2?(??1???3)]?0 3d1??3?3d2(??1???3)??(d1?d2)(??1???3)

3d1??3?3d2(??1???3)?(d1?d2)(??1???3)??33?vtd1(1?vt)?d1(1?vt)d1?2d2

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第五章 弹塑性模型理论

弹塑性模型理论 全量型 ?ij?f(?ij)不能反映应力路径，

适用于等比例加载或简单加载

增量型 d?ij?d?

塑性增量理论包括

a. 屈服面理论 弹性状态与塑性状态的分界面； b. 流动规则理论：确定d?p的方向； c. 加工硬化规律：确定d?p的大小。

5.2 屈服面的概念

对于简单拉伸材料： ???s时 弹性阶段

???s时 弹性阶段

对于复杂应力状态，有六个独立的分量，不能任取其中的一个应力分量数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。

根据不同的应力路径所进行的试验，可以在各自的应力路径上定出物体的屈服应力点，在应力空间中将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，通常为一空间曲面，简称为屈服面。

当应力点位于此曲面上，材料发生屈服，产生塑性变形，描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件、屈服准则等。由于在弹性区内,应力与应变有唯一的关系,所以屈服条件既可以用应力的函数来表示，也可以用应变的函数来表示。用应力的函数表示屈服条件的一般表达式：

F(?ij)?0

eij?d?pij

前者用广义虎克定律确定，后者用塑性增量理论计算，

对于各向同性材料，屈服条件与坐标轴方向的选取无关，因此可以写成应力不变量或的函数。例如，可表示为：

F(I1,J2,J3)?0

或写成只是主应力的函数：F(?1,?2,?3)?0

因此，它可以用主应力空间?1,?2,?3中的一个曲面来表示。在应力平面，?平面或子午面上常用屈服曲线来表示。

由于各向同性的假设，在?平面上，若(S1,S2,S3)是屈服曲线上的一点，则(S1,S2,S3)也必然是屈服曲线上一点，因此屈服曲线对图5-2中O1’轴对称。同理，屈服曲线对图5-2

?平面上的屈服曲线有三条对称线，中O2’轴以及O3’轴对称。于是，我们只需用试验确定?平面上60?范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可以确定?平面上的整个屈服曲线。

屈服曲线必然是封闭的，而且和从原点出发的射线只能交于一点，否则将导致同一应力状态既对应于弹性状态，又对应于塑性状态。

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可以采用应变的函数来表示材料的屈服条件，其一般表达式可记为：

F(?ij)?0*

其次讨论加工硬化材料。加工硬化材料在荷载作用下性状如何呢？当应力点?ij位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点?ij位于屈服面上，材料可能产生塑性变形。继续加荷使材料同时引起了新的弹性变形和塑性变形。随着塑性变形的发展屈服面不断变化，每一个应力状态对应有相应的屈服面，材料发生加工硬化。换句话说，加工硬化材料的屈服面不是一个固定的面，而是随着塑性变形发展不断扩大着的，是连续变化的一系列屈服曲面。从弹性变形状态进入弹塑性变形状态最初出现的屈服面称为初始屈服面，其数学表达式称为初始屈服条件。随着塑性变形发生，屈服应力提高形成的新屈服面称为后继屈服面，或称加载曲面。后继屈服面是随苏醒变形不断变化的。描述后继屈服面形状及其变化的数学表达式称为后继屈服面条件，或称加载条件。其一般表达式为：

?(?ij,H?)?0 （5.2.8）

式中H?—硬化参数，与塑性变形有关，一般可以表示为塑性变形的函数。 在应变空间，后继屈服条件一般可表示为：

?(?*ij,H?)?0 （5.2.8）

如果把材料进入无限塑性状态时称作破坏。加工硬化材料首先 初始屈服面，经过加工硬化阶段，最后达到破坏。破坏面是极限状态的后继屈服面。对理想弹塑性材料，随着加载，应力点到达屈服面，材料发生屈服，它没有加工硬化阶段，屈服面的形状、大小是不变的。随着塑性变形的发展，材料发生破坏。对理想弹塑性材料屈服条件荷破坏条件是相同的。在实际工程中通常把发生一定数量的变形作为破坏条件。

最后讨论加工软化材料。加工软化材料在荷载作用下形状如何呢？当应力点?ij位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点?ij位于屈服面上，材料进入弹塑性变形阶段。加工软化材料弹塑性变形阶段可分为硬化和软化阶段。继续加荷使材料产生硬化。在硬化阶段，其性状与加工硬化材料相同，随着塑性变形发展后继屈服面是不断扩大的。应力到达峰值后，继续加载材料开始进入软化阶段。材料发生软化后，应力骤减，塑性变形继续发展。在应力空间，软化阶段的后继屈服面是随着塑性变形的发展不断收缩的。待收缩到最终屈服面时，材料进入无限流动状态，认为材料发生破坏。此时的屈服面又称为破坏面，也称为残余破坏面。

在应变空间，无论是加工硬化材料，还是加工软化材料，还是理想弹塑性材料，其屈服面的变化有时是比较方便的。近年来有人开展了应变空间各种屈服条件表达式的研究。

5.3几种常用屈服条件

一、Tresca屈服条件和广义Tresca屈服条件： ?1??3?2K 不能考虑静水压力的影响 (?1??3)??I1?2K 可以考虑静水压力的影响

广义Tresca屈服条件在?平面上的屈服曲线为正六角形，在应力空间的屈服面为一正六角棱锥体面，中心轴线与等倾线重合。

二、Von Mise 屈服条件和广义Von Mise 屈服条件：

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J2?C

或 (?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?6C

在?平面上Von Mise 屈服条件是一个圆，在应力空间，是一个正圆柱面，其中心轴与等倾线重合。

常数C也可以由简单拉伸屈服试验或纯剪切屈服试验确定。

在?平面上如果我们用简单拉伸试验确定常数，Tresca正六角形将内接于Von Mise圆，并有

J2??2s3对Von Mise 屈服条件

s?max??2对Tresca屈服条件

如果采用纯剪试验确定常数，在?平面上，在01’, 02’和03’轴形成的角平分线上Tresca屈服

条件和Von Mise 屈服条件重合，于是Tresca正六角形将外切于Von Mise圆。

J2??s2对Von Mise 屈服条件

?max??s对Tresca屈服条件

Von Mise 屈服条件也可以解释为：当材料八面体上的剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。在材料力学中，用Von Mise 屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第四强度理论。 Von Mise 屈服条件不能反映球应力张量对材料屈服的影响，由此Von Mise 屈服条件推广为广义Von Mise 屈服条件。在应力空间中为一圆锥形屈服面，中心线与等倾线重合。

??I1?J2?K

三、Mohr-Coulomb 屈服条件：

通常，土体任何一个受力面上的极限抗剪强度可用Coulomb定律表示：

?n?C??ntg?

在图中还可用一曲线表示值随值的增加而变化，这是更一般的情况，称为准则。在静水压力不很大的情况，可用?=常数的直线代替，因而上式又称为Mohr-Coulomb 屈服条件。 Mohr-Coulomb 屈服条件在?平面上的屈服曲线为不等角的等边六边形，在应力空间的屈服面为一棱锥面，中心轴线与等倾线重合。

四、双剪应力屈服条件

材料的屈服取决于两个较大的主剪应力，即最大剪应力?2和中间主剪应力?1或?3。其表达式为：

?2??1?12(?1??2)??12(?3?C 当?3??1时 当?3??1时

?2??3??1?2??3)?C五、三剪应力屈服条件

材料的屈服取决于三个剪应力的屈服条件称为三剪应力屈服条件。

例如：Matsuoka-Nakai(1974)屈服条件属于三剪应力屈服条件，它是建立在空间滑动面理论基础上的。土体屈服是由空间滑动面上剪应力与正应力的比值决定的。其屈服条件的表达式为：

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I1I2I3?K

六、Lade屈服条件

依据砂土进行的大量真三轴试验资料，提出下述土的屈服和破坏条件表达式： K—硬化参数，是应力水平的函数。破坏时K=Kf，Kf为材料常数。

屈服面与破坏面形式相似，破坏面是极限屈服面。在?平面上的屈服曲线为曲边三角形，在应力空间是锥面，中心轴线为等倾线，如图5-11。屈服面随着应力水平的提高，不断扩大，直至破坏面。

七、修正剑桥模型屈服条件

依据临界状态土力学理论提出的，其屈服面方程为：

p'((q/p')M22I13I3?K

?M2)?P'0

在

p',q平面为椭圆形，在主应力空间为为一锥面加一椭球面帽子。椭球面帽子屈服面

5.4 主应力空间屈服面一般表达式

随着加工硬化而不断向外扩大。

一、屈服面形状的特点：

多数屈服条件的屈服面在主应力空间子午面上为直线，或二次曲线或蛋形曲线，或直线和曲线的组合。在?平面上为圆，或多边形，或由多段曲线组成。 二、主应力空间一般表达式 F?f(I1)?h(?J2g(??)?)

式中???

g(??) 表示?平面上屈服曲线随Lode角变化的规律，f和h函数表示子午面上屈服面形状。如下形式：

F??I1??I1???( ??)2n?0

式中α、β、γ和n—材料常数，可由试验测定。这些材料常数决定了子午面上屈服面的形状。

?平面上屈服面形状由g(??)函数确定。g(??)的确定，通常可分为三类：一类从理论假设出发；一类通过试验成果的拟合得到；还有一类是为了数值计算方便对上述两类修正得到。

属于第一类的有Tresca屈服条件，Von Mise 屈服条件，Mohr-Coulomb 屈服条件，双剪应力屈服条件、三剪应力屈服条件等。 属于第二类的有Lade准则。

属于第三类大多数为对Mohr-Coulomb 屈服条件的修正。Mohr-Coulomb 屈服面存在尖顶和棱角，使数值计算变繁和收敛缓慢，为此通过修正消除?平面上的屈服曲线的奇异点。

5.5 关于屈服条件的几点讨论 意义：屈服条件是弹塑性模型的必要组成部分。了解它有助于进一步学习弹塑性本构理论。 （1）建立屈服条件的思路：

a. 通过假设建立屈服条件，然后通过试验验证； b. 通过拟合试验成果曲线建立屈服条件；

（2）材料性状是客观的、复杂的，屈服条件是主观的。

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