土塑性力学(2)

下标号法与求和约定：

对于含有3个独立量的集用一个标号表示，如xi表示（x1, x2, x3）; 对于9个量的集用两个下标符号表示如xij

n

这样3个量的集可用n个下标集来表示。 在给出声明后，i,j也可取值1，2，?，n。

求和约定

当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此下标从1到3求和，并限定在同一项中不能出现三次或三次以上。

3aibi??abii?13i?a1b1?a2b2?a3b3

aii??ai?1ii?a11?a22?a33

3aijbj??aj?13ijbj?ai1b1?ai2b2?ai3b3

aijbicj??ai?1ijbicj?a11b1c1?a12b1c2?a13b1c3?a21b2c1?a22b2c2?a23b2c3 ?a31b3c1?a32b3c2?a33b3c3aii?a11?a22?a33

2222在三维笛卡尔直角坐标系中，考虑一线素(dx1,dx2,dx3)，其长度的平方为：

ds2?(dx1)?(dx2)?(dx3)222?dxidxi

，则上式可写成为：

若我们定义Kronecker-δ符号，?ijds2?1,i?j???0i?j?dxidxi??ijdxidxj

1,当（i,j,k?(1,2,3)?(2,3,1)?(3,1,2)）?????1,当（i,j,k?(3,2,1)?(2,1,3)?(1,3,2)）?0,当（i,j,k中任两个或两个以上指标相同时）?在定义由Einstein提出的置换记号eijk

eijk也称为排列记号，因i,j,k三数经偶数次置换成为（1，2，3）时，其值取为1，如果经奇数次置换成为（1，2，3）时，其值取为-1。

Kronecker-δ符号和置换记号有如下的恒等式：eijkeist??js?kl??ks?jt 由此得到：eijkeijs?2?ks和eijkeijk?6。 举例：

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a11a12a22a32a13a23?ersmar1as2am3a331. 三阶行列式：

aij?a21a31

2. 三维笛卡尔直角坐标系中的基向量为ei,i?1,2,3，有如下等式：

ei?ej??ij和ei?ej?eijkek

3. 两个向量a?aiei和b?biei的点积可利用上式得到：

a?b?aiei?bjej?aibjei?ej?aibj?ij?aibi

4. 同理，两个向量a?aiei和b?biei的叉积：

a?b?aiei?bjej?(eijkaibj)ek，所以叉积的结果仍然是一个向量，其方向两向量构成的

平面相正交，而且取右手系确定。

5. 三向量的混合积是一个标量，其定义为：(a,b,c)?a?(b?c)?(a?b)?c?eijkaibjck

这一求和规则也适用于含有导数的项 ai,i??ai?xi??a1?x1??a2?x2??a3?x3

?ij,j???ij?xj2???i1?x1????i2?x2????i3?x32

2?i,jj???i?xj?xj??i1?x212??i2?x22???i3?x23

对于同一项内不重复出现的下标则称自由下标，用自由下标表示一般项，它可取1，2，3中任一值，在同一方程式中各项的自由标号应该相同，并表示该方程式对所有自由标号的值都成立。 如xi?cijyj表示：

x1?c11y1?c12y2?c13y3 x2?c21y2?c22y2?c23y3 x3?c31y1?c32y2?c33y3

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第二章 连续体力学的基本概念

在详细论述土的本构模型理论之前要介绍一下连续介质力学的基本概念。

虽然土和岩石是自然历史得产物，是由固体颗粒、水和气体组成得多相体，在微观上不连续、不均匀和各向异性的。但是对许多岩土工程问题，我们感兴趣的几何尺寸是非常大的，在这个大尺度上，微观上的不连续、不均匀的影响能够因平均化而消失。土或岩石的力学性质及其在数学上的特征能够在概念和解决问题的基本方法，许多是从连续介质力学中借用过来或引申过来的。土介质的本质特性虽然比金属材料要复杂得多，但其变形和运动都服从连续介质力学得基本定律—质量守恒、动量平衡、能量守恒。所以对土力学—连续介质力学的一个分支的研究，总是在连续介质力学基本理论的指导下进行的，因此我们有必要—— 2.1 应力分析 一、一点的应力状态、应力张量： zTini面积??yX 岩土介质中一点的应力可以这样考虑：考虑介质中某点M处附近的一个小微元?A，它???的法向单位矢量为n，作用在它上面的合力为?Ti，当?A?0时，?Ti/?A的极限称??n??Ti作与法向n的微元面相关的M点应力矢量：T?lim ?A?0?A??由于T是矢量，可用三个坐标轴来表达：T?(Tx,Ty,Tz)，

在上面的讨论中，过M点的平面是任选的。显然，过M点可以做无穷多个这样的平面，不同平面上的应力是不同的，这样就产生一个到底如何描绘一点处的应力状态的问题。 为研究一点的应力状态，沿坐标轴x,y,z方向取一个微小平行六面体，应力均匀分布，当?V?0时，六面体上的应力就代表该点处的应力状态。

??Ti(1)???11?12?13???x?xy?xz???(2)??????ij??Ti???21?22?23???yx?y?yz?

????T(3)??????32?33????zx?zy?zz??i??31i,j?1,23

由剪应力互等定理，?ij为对称，9个分量中有6个分量是独立，

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?斜微分面上的应力矢量P与坐标有关

在任意点O附近取一微小四面体单元OABC，斜面ABC的外法线为n，令斜面ABC的面积为1，则三角形OBC，OAC，OAB的面积分别为

1?cos(n,x)?n1?SOBC 1?cos(n,y)?n2?SOAC 1?cos(n,z)?n3?SOAB zCOAX ?ABC面上应力矢量P沿坐标轴的方向分量PX, Py,Pz, 由微小四面体单元的平衡条件得By出： Px?1??xn1??Py?1??Pz?1??xyn2??xzn3 n3

yxn1??yn2??n1??yzzxzyn2??zn3

写成张量形式： Pi??ijnj

??微分面上的法向应力 ?n?P?n??ijninj

微分面上的剪应力 ?n?px?py?pz??2222n

如果作用下微分面上只有正应力，而没有剪应力，则作用在该微分面上的总应力就是主应力，微分面的法线方向：

?1pi??ni；pi??ijnj?(?ij???ij)nj?0 ?ij???0i?ji?j

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若上式nj不全为零，则 ?ij???ij?0 将上述行列式展开，得： ?3?I1?2?I2??I3?0 应力状态特征方程

????z

2xy式中：I1??ii??I2??(?x?xyy??y?zz??z?x)?(???2yz2yz??2zx)?212(?ij?2ij??ii?jj)I3??ij??x?y??2?xy?yz?zx??x?3

??y?xz??z?xy

三个实根ζ1，ζ2，ζ

就是主应力并约定，当时，主应力方向相互垂直，该三个垂直

的方向就称为主方向。按主方向排列的右手坐标系称为应力主轴。 I1，I2，I3与所选取的坐标无关，称为应力张量?ij的三个不变量。 （五）坐标变换时的应力?ij

设新直角坐标系为（x’, y’, z’），它与旧直角坐标系（x, y, z）之间转换关系为xi?lijxj， 新旧坐标系各轴对旧坐标各轴的方向余弦lij应满足likljk??ij，在新直角坐标系中应力中应力张量?'ij?likljl??ij称为二阶张量。

kl'

矢量称为一阶张量，坐标变换时：x'i?ljkxk 二、八面体应力，应力张量的分解：

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